Algebra di Lie risolubile

In matematica, un'algebra di Lie ${\mathfrak {g}}$ si dice risolubile se la sua serie derivata, definita come

${\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...$

diviene 0 dopo un numero finito di passaggi.

Ogni algebra di Lie nilpotente è risolubile, ma il viceversa non è vero. L'ideale risolubile massimale è detto radicale.

Proprietà

Sia ${\mathfrak {g}}$ un'algebra di Lie finito-dimensionale su un campo di caratteristica 0. Allora sono equivalenti:

1. ${\mathfrak {g}}$ è risolubile
2. $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$, la rappresentazione aggiunta di ${\mathfrak {g}}$, è risolubile.
3. Esiste una successione finita di ideali ${\mathfrak {a}}_{i}$ di ${\mathfrak {g}}$ tali che:

   ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0$ dove $[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}$ per ogni $i$.

4. $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ è nilpotente.

Il teorema di Lie afferma che se $V$ è uno spazio vettoriale finito-dimensionale su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, e ${\mathfrak {g}}$ è un'algebra di Lie risolubile su $V$, allora esiste una base di $V$ per la quale tutte le matrici degli elementi di ${\mathfrak {g}}$ sono triangolari superiori.

Bibliografia

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5

Voci correlate

• Criterio di Cartan

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