Teorema di decomposizione di Hahn

(Reindirizzamento da Decomposizione di Hahn)

In matematica, il teorema di decomposizione di Hahn, il cui nome è dovuto al matematico austriaco Hans Hahn, afferma che dato uno spazio misurabile e una misura con segno definita sulla sigma-algebra , esistono due insiemi misurabili e in tali che:

  • e
  • Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme positivo per .
  • Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme negativo per .

Inoltre, tale decomposizione è essenzialmente unica: per ogni altra coppia e di insiemi misurabili che soddisfano la definizione le differenze simmetriche e sono insiemi -nulli, nel senso che ogni loro sottoinsieme ha misura nulla rispetto alla misura . La coppia è chiamata decomposizione di Hahn.

Teorema di decomposizione di Jordan

modifica

Una conseguenza del teorema di decomposizione di Hahn è il teorema di decomposizione di Jordan, che afferma che ogni misura con segno   può essere decomposta in modo unico nella differenza:

 

di due misure positive   e  , di cui almeno una delle due è una misura finita, tali che   se   e   se   per ogni decomposizione di Hahn   di  . Le due misure   e   sono dette rispettivamente parte positiva e parte negativa di  , e la coppia   è chiamata decomposizione di Jordan o decomposizione di Hahn-Jordan.

Le due misure possono essere definite come:

 

per ogni decomposizione di Hahn   di  . La decomposizione di Jordan è unica (mentre la decomposizione di Hahn è soltanto essenzialmente unica).

Come corollario, data una decomposizione di Jordan   di una misura finita  , si ha:

 

Inoltre, se   per una coppia di misure finite e non negative  , allora:

 

che significa che la decomposizione di Jordan è la decomposizione minimale di   nella differenza di due misure non negative. In alcuni testi si parla di "proprietà di minimalità" della decomposizione di Jordan.

Dimostrazione

modifica

La dimostrazione del teorema di decomposizione di Hahn può essere suddivisa, per comodità, in tre parti. Nella prima si mostra un lemma preliminare, nella seconda si costruisce la decomposizione e nella terza se ne dimostra l'unicità.

  • Un insieme negativo è un insieme   tale per cui   per ogni   che è un sottoinsieme di  . Si ponga che   non assume il valore  , e che   soddisfa  . Allora esiste un insieme negativo   tale che  .
Per dimostrare questo fatto, sia   e si assuma per induzione che per   sia possibile trovare  . Sia inoltre:
 
l'estremo superiore di   valutato su tutti i sottoinsiemi misurabili   di  , che può anche essere infinito. Dato che l'insieme vuoto   è un possibile candidato per   nella definizione di  , e che  , si ha  . Per come è stato definito  , esiste   in   che soddisfa:
 
Per concludere il procedimento induttivo è sufficiente porre  . Definendo:
 
dal momento che gli insiemi   sono sottoinsiemi disgiunti di  , segue dalla sigma additività della misura con segno   che:
 
Questo mostra che  . Se   è un insieme non-negativo allora esiste   in   che è sottoinsieme di   e soddisfa  . Allora   per ogni n, e quindi la serie al membro di destra diverge a  , che significa che  , cosa non consentita. Quindi,   deve essere un insieme negativo.
  • Sia  . Per induzione, dato   si definisce:
 
come l'estremo inferiore (che può valere  ) di   per tutti i sottoinsiemi misurabili  . Dal momento che   può anche essere l'insieme vuoto, e che  , si ha  . Quindi esiste   in   con   e:
 
Per quanto detto nella prima parte della dimostrazione, esiste un insieme negativo   tale che  . Per concludere il procedimento induttivo, si pone  .
Sia:
 
Dato che gli insiemi   sono disgiunti, si ha per ogni   in   che:
 
grazie alla sigma-additività di  . In particolare, questo mostra che   è un insieme negativo. Definendo  , se   non è un insieme positivo allora esiste   in   con  . Allora   per ogni n e:
 
che non è consentito per  . Quindi,   è un insieme positivo.
  • Per provare l'unicità, sia   un'altra decomposizione di Hahn di  . Ma allora   è un insieme positivo e anche negativo, quindi ogni suo sottoinsieme ha misura nulla. Lo stesso vale per  . Dal momento che:
 
la dimostrazione è conclusa.

Bibliografia

modifica

Voci correlate

modifica

Collegamenti esterni

modifica
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica