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In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

DefinizioniModifica

Sia   un'algebra di insiemi. Una funzione   (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se,   disgiunti si ha:

 

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione   tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in   si ha:[1]

 

Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.

ProprietàModifica

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia   che   come valori, perché l'espressione   è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

 

per ogni collezione finita   di insiemi disgiunti in  .

Utili proprietà di una funzione additiva   sono:

  •  .
  • Se   è non negativa (cioè  ) e  , allora  .
  • Se   allora  .
  • Dati   e  ,  .

EsempiModifica

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione   definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

 

NoteModifica

  1. ^ Se   è in particolare una σ-algebra, allora l'ipotesi riguardante l'unione degli   è sempre verificata.

BibliografiaModifica

  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
  • (EN) N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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