Densità di Schnirelmann

In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.

Definizione

Sia $A$ un insieme di interi e sia $A(x)$ la funzione enumeratrice di $A$, definita come:

$A(x)=\sum _{a\leq x;a\in A}^{}1$

La densità di Schnirelmann di $A$ è quindi definita come

$\sigma (A)=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}$

Proprietà

La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà

${\text{Se }}k\notin A{\text{ allora }}\sigma A\leq 1-1/k.$

In particolare, se $1\notin A$, allora $\sigma (A)=0$.

Somme di insiemi e loro densità di Schnirelmann

Se $C$ è l'insieme somma di due insiemi $A$ e $B$, definito come

$C=\lbrace a+b:a\in A\cup \{0\},b\in B\cup \{0\}\rbrace$

allora il teorema di Schnirelmann afferma che

$\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\sigma (B).$

Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se $C\neq \mathbb {N}$, si ha

$\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B).$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Densità di Schnirelmann, su MathWorld, Wolfram Research.