Quadrato (algebra)

elevamento di un numero o un'espressione alla seconda potenza
Il grafico di , per i valori di compresi tra e .

In algebra, viene definito quadrato di un numero l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

Indice

ProprietàModifica

  • Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi
 
  • Per lo stesso motivo vale la relazione
 

Ad esempio il quadrato di   è  , ma anche il quadrato di   è uguale a  .

  • Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).
  • la somma dei numeri dispari in ordine è un quadrato perfetto di un numero pari o dispari (proprietà nota al matematico greco Euclide):
 
 
 
 
 , da cui:
 
 
 
 
 
  che risolta porta, infatti, ad una identità.

Da una formula siffatta si identificano un sottoinsieme infinito numerabile delle terne pitagoriche, per ogni   intero. Ad es. : (3, 4, 5) con  ; (5, 12 ,13); (7, 24 ,25); (9, 40, 41); (11, 60, 61); (13, 84, 85); (15, 112, 113); (17, 144, 145); (19, 180, 181); (21, 220, 221); (23, 264, 265).

Quadrati perfettiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Quadrato perfetto.

Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà:

  • Il quadrato di un qualsiasi numero intero   può essere rappresentato anche dalla somma
 

Ad esempio

 
  • Il quadrato di un qualsiasi numero intero   è inoltre uguale alla somma dei primi   numeri dispari:
 

indicabile attraverso la formula

 
  • Il quadrato di un qualsiasi numero intero   è inoltre uguale alla somma del numero   e dei primi   numeri pari:
 

indicabile attraverso la formula

 
 

Voci correlateModifica

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