Quadrato (algebra)

In algebra, viene definito quadrato di un numero $x$ l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

Il grafico di $y=x^{2}$ , per i valori di $x$ compresi tra $0$ e $25$ .

x^{2}=x\cdot x.

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

\left(a+ib\right)^{2}=a^{2}-b^{2}+i\cdot 2ab.

Proprietà modifica

Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi

x^{2}\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb {R} .

Per lo stesso motivo vale la relazione

x^{2}=\left(-x\right)^{2}.

Ad esempio il quadrato di $2$ è $4$ , ma anche il quadrato di $-2$ è uguale a $4$ .

Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).
la somma dei numeri dispari in ordine è un quadrato perfetto di un numero pari o dispari (proprietà nota al matematico greco Euclide):

1=1^{2}

1+3=2^{2}

1+3+5=3^{2}

1+3+5+7=4^{2}

1+3+5+7+9=5^{2}

, da cui:

1^{2}=1

2^{2}=1^{2}+3

3^{2}=2^{2}+5

4^{2}=3^{2}+7

5^{2}=4^{2}+9

n^{2}=(n-1)^{2}+2n-1

che risolta porta, infatti, ad una identità.

Da una formula siffatta si identificano un sottoinsieme infinito numerabile delle terne pitagoriche, per ogni ${\sqrt {2n-1}}$ intero. Ad es. : (3, 4, 5) con $n=5$ ; (5, 12 ,13); (7, 24 ,25); (9, 40, 41); (11, 60, 61); (13, 84, 85); (15, 112, 113); (17, 144, 145); (19, 180, 181); (21, 220, 221); (23, 264, 265).

Quadrati perfetti modifica

Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà: