Distanza di cerchio massimo

Per distanza di cerchio massimo si intende la distanza minima fra due punti posti su una superficie sferica, e coincide con l'arco di cerchio massimo che comprende i due punti. Questa distanza è anche detta ortodromia ed è la traiettoria percorsa dagli aeromobili, poiché implica un minor consumo di carburante e di tempo rispetto alla lossodromia.

Essa rappresenta il tragitto più breve ed ha la caratteristica di tagliare tutti i meridiani con angoli diversi, lungo un cerchio massimo.

Casi particolari sono gli archi di meridiano (angolo di taglio costante = 0°/180°) ed archi di parallelo (angolo di taglio costante = 90°/270°).

L'angolo che sottende questa distanza viene detto distanza angolare.

È da notare che archi del parallelo equatoriale rappresentano casi particolari dell'ortodromia in quanto, anche non variando l'angolo di intersezione con i meridiani, la distanza tra i punti considerati (partenza ed arrivo) è la minima possibile. Poiché nel caso della navigazione (aerea o marittima) è conveniente, in generale (a meno di altre variabili quali correnti marine, venti in quota, ecc.), percorrere il tragitto più breve per collegare due punti, la rotta ortodromica è quella preferenziale. Una rotta di questo tipo è però soltanto ideale, in quanto non è pensabile che il mezzo in questione possa variare in modo continuo la direzione di navigazione (intesa come orientamento rispetto ai punti cardinali). La rotta reale è molto spesso una buona approssimazione della rotta ortodromica, realizzata tramite successive rotte lossodromiche parziali (spezzata).

Calcolo per via geometrica

Siano $P$ e $Q$ due punti su una superficie sferica di raggio $\rho$ in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Definite $\phi _{P}$ e $\phi _{Q}$ le longitudini dei due punti prese dall'asse $x$ verso la proiezione dei raggi ${\overline {OP}}$ e ${\overline {OQ}}$ sul piano $xy$ , e $\theta _{P}$ e $\theta _{Q}$ le latitudini dei due punti prese dal piano $xy$ verso i raggi ${\overline {OP}}$ e ${\overline {OQ}}$ , le coordinate cartesiane dei due punti sono:

{\begin{cases}x=\rho \cos \theta \cos \phi \\y=\rho \cos \theta \sin \phi \\z=\rho \sin \theta \end{cases}}

La distanza rettilinea (ovvero misurata lungo la retta che attraversa i due punti P e Q) fra i due punti è

{\overline {PQ}}^{2}=(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{P}-y_{Q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=

{\overline {PQ}}^{2}=(\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q})^{2}+(\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q})^{2}+(\rho \sin \theta _{P}-\rho \sin \theta _{Q})^{2}

sviluppando i calcoli: ${\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})$ , dove $\Delta \phi =\phi _{Q}-\phi _{P}$

Considerando il triangolo $POQ$ , per trovare la lunghezza dell'arco di cerchio massimo che va da $P$ a $Q$ bisogna trovare l'ampiezza dell'angolo $\gamma$ compreso fra i due raggi ${\overline {OP}}$ e ${\overline {OQ}}$ e moltiplicarla poi per il raggio $\rho$ . Denominato quest'angolo $\gamma$ risulta quindi che $d(P,Q)=\rho \gamma$ . Applicando la Legge del coseno, o Teorema di Carnot, al triangolo $POQ$ :

{\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2{\overline {OP}}\cdot {\overline {OQ}}\cos \gamma

e quindi

{\overline {PQ}}^{2}=\rho ^{2}+\rho ^{2}-2\rho \rho \cos \gamma =2\rho ^{2}-2\rho ^{2}\cos \gamma

{\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )

Si eguagliano i due valori di ${\overline {PQ}}^{2}$ che abbiamo trovato:

2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )

sviluppando i calcoli risulta che

\gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}})

Esprimendolo in modo più esplicito in termini di LATitudine e LONGitudine diventa:

$\gamma =\arccos({\cos(LON2-LON1)\cos LAT_{P}\cos LAT_{Q}+\sin LAT_{P}\sin LAT_{Q}}))$

Se anziché in termini di latitudine e longitudine le coordinate di P e Q sono espresse in termini di declinazione e ascensione retta, la formula diventa:

$\gamma =\arccos({\cos(RA2-RA1)\cos Dec_{P}\cos Dec_{Q}+\sin Dec_{P}\sin Dec_{Q}}))$

Questa quantità è detta distanza angolare tra due punti sulla superficie di una sfera. Moltiplicando, come detto inizialmente, questo angolo per il raggio della sfera, si ottiene la lunghezza dell'arco passante per i due punti P e Q:

\ d(P,Q)=\rho \arccos {(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}

Calcolo per via vettoriale

La distanza fra due punti su una sfera può essere calcolata anche tramite i vettori: consideriamo infatti i due punti $P$ e $Q$ come vettori espressi dalle matrici

{\vec {P}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\text{ e }}{\vec {Q}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}\\\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}\\\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}

Eseguendo il prodotto scalare fra ${\vec {P}}$ e ${\vec {Q}}$ risulta che ${\vec {P}}\cdot {\vec {Q}}=\left|P\right|\left|Q\right|\cos \varepsilon$ (dove $\varepsilon$ è sempre l'angolo compreso fra i due vettori):