Disuguaglianza di MacLaurin

In matematica, la disuguaglianza di MacLaurin fornisce una serie di termini intermedi tra la media aritmetica e quella geometrica di una n-upla di reali positivi.

Definizione

Sia $a_{1},\ldots ,a_{n}$ una n-upla di numeri reali. Indichiamo con $c_{k}$ la somma di tutti i possibili prodotti di k fattori scelti in n.

Grazie alle relazioni tra radici e coefficienti di un polinomio si dice che $c_{k}$ è il coefficiente di $x^{n-k}$ nel polinomio $(x+a_{1})\cdot \ldots \cdot (x+a_{n})$.

Indichiamo con $d_{k}$ la media aritmetica degli addendi che compongono $c_{k}$, cioè

$d_{k}={\frac {c_{k}}{n \choose k}}$

La disuguaglianza di MacLaurin dice che

${\sqrt[{n}]{d_{n}}}\leq {\sqrt[{n-1}]{d_{n-1}}}\leq \ldots \leq {\sqrt {d_{2}}}\leq d_{1}$

Inoltre vale un qualunque segno di uguale (e in tal caso valgono tutti) se e solo se gli $a_{i}$ sono tutti uguali.

Esempio

Poniamo $n=4$ e siano a, b, c, d quattro numeri reali positivi. Allora per la disuguaglianza di MacLaurin

${\sqrt[{4}]{abcd}}\leq {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\leq {\sqrt[{2}]{\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\leq {\frac {a+b+c+d}{4}}$

Voci correlate

• Colin Maclaurin
• Disuguaglianza di Newton