Formule di Viète

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In matematica, più specificatamente in algebra, le formule di Viète, denominate così da François Viète (1540-1603), sono formule che mettono in relazione le radici di un polinomio con i suoi coefficienti.

Queste formule sono conosciute anche con il nome di formule di Viète-Girard poiché un importante contributo viene anche dal lavoro del matematico Albert Girard (1590-1633).

Le formuleModifica

Se

 

è un polinomio di grado   con coefficienti complessi (cioè i numeri   sono complessi con  ), per il teorema fondamentale dell'algebra   ha   radici complesse (non necessariamente distinte)  

Le formule di Viète affermano che

 
 
 
 

Queste formule possono essere messe sotto un'unica forma

 

per ogni   . In altre parole, la somma di tutti i possibili prodotti di   radici di   (con gli indici, di ogni prodotto, in ordine crescente così da evitare ripetizioni di monomi) equivale a  

Questa formula di Viète vale, in forma più generale, per i polinomi con coefficienti in un qualsiasi anello commutativo, poiché in un tale anello un polinomio di grado   ha   radici.

EsempioModifica

Per un polinomio di secondo grado  , la formula di Viète afferma che le soluzioni   e   dell'equazione   soddisfano

 

La prima di queste equazioni può essere usata per trovare il minimo (o il massimo) di P. Fai riferimento a polinomio di secondo ordine.

DimostrazioneModifica

La formula di Viète può essere dimostrata rielaborando l'uguaglianza

  ;

questa è vera poiché   sono tutte e sole le radici del polinomio in esame. Si tratta poi di sviluppare il prodotto al secondo membro dell'equazione e di identificare i coefficienti di ogni potenza della variabile  

ApplicazioniModifica

Teorema binomialeModifica

Queste formule possono essere usate per dimostrare il teorema binomiale. Il polinomio   avrà infatti   radici coincidenti (in particolare  ). Poiché evidentemente il coefficiente di grado   è  , dalle formule di Viète si avrà che:

 
 
 
 

Il numero dei termini con   da sommare in un membro è uguale a tutti i gruppi di   termini su   che si possono formare. Tale numero corrisponde a:

 

così le formule precedenti si possono riformulare nel seguente modo:

 

Quindi, moltiplicando eventualmente per   entrambi i termini abbiamo che:

 

Ossia:

 

Coefficiente del termine di primo gradoModifica

Tramite queste formule si arriva a un risultato molto importante usato anche da Eulero nella sua soluzione del problema di Basilea, riguardante il coefficiente di primo grado. Infatti esso, per le formule di Viète, sarà uguale alla somma di tutti i termini formati dal prodotto di   radici cambiate di segno, moltiplicata per il coefficiente di  -esimo grado; ossia:

 

Se il termine costante è diverso da 0, si può dividere tutta l'espressione cambiata di segno per esso, che vale (sempre per le formule di Viète):

 

E si ottiene:

 

 

L'opposto del rapporto tra coefficiente di primo grado e termine noto è uguale alla somma dei reciproci delle radici. Da ciò deriva che, se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma dei reciproci delle sue radici è uguale al coefficiente del termine lineare cambiato di segno.

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