Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di $2{\alpha }$ avendo il valore di seno, coseno o tangente di $\alpha$. Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare $\alpha =\beta$.

Seno

${\begin{aligned}\sin(2\alpha )&=\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\alpha )\\&=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )\end{aligned}}$

Coseno

${\begin{aligned}\cos(2\alpha )&=\cos(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\alpha )\sin(\alpha )\\&=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\end{aligned}}$

Essendo $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$, tale formula può anche essere riscritta come:

• $\cos(2\alpha )=[1-\sin ^{2}(\alpha )]-\sin ^{2}(\alpha )=1-2\sin ^{2}(\alpha )$
• $\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-[1-\cos ^{2}(\alpha )]=2\cos ^{2}(\alpha )-1$

Tangente

${\begin{aligned}\tan(2\alpha )&={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )\tan(\alpha )}}\\&={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan ^{2}(\alpha )}}\end{aligned}}$

e la soprastante formula è valida per $\tan(\alpha )\neq \pm 1$, ovvero per:

$\alpha \neq {\pi \over 4}+k{\pi \over 2},\quad k\in \mathbb {Z}$

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

• $\lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{-}}\tan(2\alpha )=+\infty$
• $\lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{+}}\tan(2\alpha )=-\infty$