Le quattro serie ipergeometriche di Lauricella sono definite come segue:
F
A
(
3
)
(
a
,
b
1
,
b
2
,
b
3
,
c
1
,
c
2
,
c
3
;
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
(
c
1
)
i
1
(
c
2
)
i
2
(
c
3
)
i
3
i
1
!
i
2
!
i
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
,
{\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}},}
F
B
(
3
)
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
b
1
,
b
2
,
b
3
,
c
;
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
(
a
1
)
i
1
(
a
2
)
i
2
(
a
3
)
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
(
c
)
i
1
+
i
2
+
i
3
i
1
!
i
2
!
i
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
,
{\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}},}
F
C
(
3
)
(
a
,
b
,
c
1
,
c
2
,
c
3
;
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
b
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
c
1
)
i
1
(
c
2
)
i
2
(
c
3
)
i
3
i
1
!
i
2
!
i
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
,
{\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}},}
F
D
(
3
)
(
a
,
b
1
,
b
2
,
b
3
,
c
;
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
(
c
)
i
1
+
i
2
+
i
3
i
1
!
i
2
!
i
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
,
{\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}},}
dove
(
a
)
i
{\displaystyle (a)_{i}}
simbolo di Pochhammer , cioè
(
a
)
i
:=
a
(
a
+
1
)
…
(
a
+
i
−
1
)
.
{\displaystyle (a)_{i}:=a(a+1)\dots (a+i-1).}
Lauricella ha anche indicato l'esistenza di altre dieci interessanti funzioni ipergeometriche di tre variabili. Queste sono state individuate e studiate da Saran nel 1954. Si parla anche delle 14 funzioni ipergeometriche di Lauricella-Saran .
Le quattro serie introdotte da Lauricella si possono estendere direttamente ad altrettante funzioni di
n
{\displaystyle n}
F
A
(
n
)
(
a
,
b
1
,
…
,
b
n
,
c
1
,
…
,
c
n
;
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
1
,
…
,
i
n
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
…
+
i
n
(
b
1
)
i
1
…
(
b
n
)
i
n
(
c
1
)
i
1
…
(
c
n
)
i
n
i
1
!
…
i
n
!
x
1
i
1
…
x
n
i
n
;
{\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}};}
F
B
(
n
)
(
a
1
,
…
,
a
n
,
b
1
,
…
,
b
3
,
c
;
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
1
,
…
,
i
n
=
0
∞
(
a
1
)
i
1
…
(
a
n
)
i
n
(
b
1
)
i
1
…
(
b
n
)
i
n
(
c
)
i
1
+
…
+
i
n
i
1
!
…
i
n
!
x
1
i
1
…
x
n
i
n
;
{\displaystyle F_{B}^{(n)}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{3},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}\ldots (a_{n})_{i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}};}
F
C
(
n
)
(
a
,
b
,
c
1
,
…
,
c
n
;
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
1
,
…
,
i
n
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
…
+
i
n
(
b
)
i
1
+
…
+
i
n
(
c
1
)
i
1
…
(
c
n
)
i
n
i
1
!
…
i
n
!
x
1
i
1
…
x
n
i
n
;
{\displaystyle F_{C}^{(n)}(a,b,c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}};}
F
D
(
n
)
(
a
,
b
1
,
…
,
b
n
,
c
;
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
1
,
…
,
i
n
=
0
∞
(
a
)
i
1
+
…
+
i
n
(
b
1
)
i
1
…
(
b
n
)
i
n
(
c
)
i
1
+
…
+
i
n
i
1
!
…
i
n
!
x
1
i
1
…
x
n
i
n
.
{\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}.}
Talora il termini serie ipergeometriche di Lauricella denota queste stesse serie.
Quando si riducono le variabili a due si ottengono le serie ipergeometriche di Appell come segue:
F
A
≡
F
2
,
F
B
≡
F
3
,
F
C
≡
F
4
,
F
D
≡
F
1
.
{\displaystyle F_{A}\equiv F_{2},\qquad F_{B}\equiv F_{3},\qquad F_{C}\equiv F_{4},\qquad F_{D}\equiv F_{1}.}
Se ci si riduce ad una variabile tutte le quattro funzioni si riducono alla serie ipergeometrica di Gauss
2
F
1
(
a
;
b
;
c
;
x
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}(a;b;c;x).}
Queste definizioni sono generalizzazioni della definizione della serie ipergeometrica.
G. Lauricella: Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili 7 , p.111-158 (1893).
(FR Paul Émile Appell , Joseph Kampé de Fériet : Fonctions hypergéométriques et hypersphériques (Parigi, Gauthier-Villars, 1926)
S. Saran: Hypergeometric Functions of Three Variables , Ganita, 5, No.1, p77-91 (1954).
(EN Generalized Hypergeometric Functions capitolo 8 (Cambridge University Press, 1966) ISBN 052106483X MR 0201688
(EN Multiple hypergeometric functions (Halsted Press, 1976) ISBN 0470151900 
