Fattoriale crescente

In matematica, per fattoriale crescente o decrescente di con fattori si intende, rispettivamente un prodotto della forma

( fattori crescenti inizianti da );
( fattori decrescenti inizianti da ).[1]

Qui denota un intero naturale, mentre può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Simboli modifica

Utilizzando una delle notazioni utilizzata abbiamo[2]:

  fattoriale crescente;
  fattoriale decrescente.

Esistono anche notazioni alternative da utilizzare con cautela perché diversamente interpretate da diversi autori come la notazione   detta simbolo di Pochhammer[1] usata da alcuni per il fattoriale decrescente[3] da altri per quello crescente.

Casi particolari modifica

Per   fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

 

Collegamenti con calcolo combinatorio modifica

Nel caso   numero intero non negativo[4], con riferimento a simboli comunemente usati nel calcolo combinatorio, si ha:

  (disposizioni senza ripetizione);
  (disposizioni senza ripetizione);
  (combinazioni senza ripetizioni);
  (combinazioni con ripetizioni).

Dai polinomi alle matrici di Stirling modifica

Iniziando dai polinomi di primo grado i primi cinque casi del fattoriale decrescente sono:

 
 
 
 
 

I primi cinque di quello crescente sono:

 
 
 
 
 

Utilizzando vettori e matrici possiamo esprimere i due casi precedenti scrivendo:

 
 

Esplicitando il secondo vettore attraverso le matrici inverse si ottiene:

 
 

Le matrici dell'esempio, facilmente generalizzabile ad un qualsiasi numero di polinomi, contengono i numeri di Stirling di prima e seconda specie, alternati e no. Gli elementi di questi quattro triangoli di Stirling si possono ottenere con regole ricorsive simili a quella di Stiffel relativa al triangolo di Tartaglia [3]

Collegamento con il calcolo umbrale modifica

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile   e le due successioni   per   e   per   come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti  , formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi   giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

 

e la

 

dove   denota la derivata rispetto alla variabile  . La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.

Note modifica

  1. ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Fattoriale crescente, in MathWorld, Wolfram Research.  
  2. ^ (EN) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1989, ISSN 9780201142365 (WC · ACNP), OCLC 17649857.
  3. ^ a b Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988, pp. 6-24, ISBN 978-88-08-03858-6.
  4. ^ In caso contrario si può usare la funzione gamma che generalizza il fattoriale

Voci correlate modifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica