Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.
Uno qualsiasi dei livelli
V
α
{\displaystyle V_{\alpha }}
L
α
{\displaystyle L_{\alpha }}
universo di von Neumann
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi: [1]
{
}
,
{\displaystyle \{\},}
{
{
}
}
,
{\displaystyle \{\{\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
.
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}
Un insieme
X
{\displaystyle X}
⋃
X
⊆
X
{\textstyle \bigcup X\subseteq X}
⋃
X
{\textstyle \bigcup X}
unione di tutti gli elementi di
X
{\displaystyle X}
⋃
X
=
{
y
∣
∃
x
∈
X
:
y
∈
x
}
{\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}
Se
X
{\displaystyle X}
⋃
X
{\textstyle \bigcup X}
Se
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
∪
Y
{\displaystyle X\cup Y}
X
∪
Y
∪
{
X
,
Y
}
{\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}
Z
{\displaystyle Z}
⋃
Z
{\textstyle \bigcup Z}
Z
∪
⋃
Z
{\textstyle Z\cup \bigcup Z}
Z
=
{
X
,
Y
}
{\displaystyle Z=\{X,Y\}}
Un insieme
X
{\displaystyle X}
insieme potenza ,
X
⊆
P
(
X
)
.
{\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}
La chiusura transitiva
TC
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {TC} (X)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
⊆
TC
(
X
)
{\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}
[2]
X
{\displaystyle X}
TC
(
X
)
=
⋃
{
X
,
⋃
X
,
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
⋃
X
,
…
}
.
{\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}
Infatti, denotando
X
0
=
X
{\textstyle X_{0}=X}
X
n
+
1
=
⋃
X
n
{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}
T
=
⋃
n
=
0
∞
X
n
{\displaystyle T=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}
è transitivo e che per ogni
T
1
{\textstyle T_{1}}
X
{\textstyle X}
T
⊆
T
1
{\textstyle T\subseteq T_{1}}
Mostriamo che
T
{\displaystyle T}
y
∈
x
∈
T
{\textstyle y\in x\in T}
n
{\textstyle n}
x
∈
X
n
{\textstyle x\in X_{n}}
y
∈
⋃
X
n
=
X
n
+
1
{\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}
X
n
+
1
⊆
T
{\textstyle X_{n+1}\subseteq T}
y
∈
T
{\textstyle y\in T}
T
{\textstyle T}
Sia ora
T
1
{\textstyle T_{1}}
X
n
⊆
T
1
{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}
n
{\displaystyle n}
T
⊆
T
1
{\textstyle T\subseteq T_{1}}
X
0
=
X
⊆
T
1
{\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}
X
n
⊆
T
1
{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}
X
n
+
1
=
⋃
X
n
⊆
⋃
T
1
{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}
T
1
{\textstyle T_{1}}
⋃
T
1
⊆
T
1
{\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}
X
n
+
1
⊆
T
1
{\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}
Modelli transitivi della teoria degli insiemi
modifica
