Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo $\cup$ ) di insiemi. Dati due insiemi $A$ e $B$ , la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

al solo insieme $A$ ,
al solo insieme $B$ ,
a entrambi.

L'unione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione.

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DefinizioneModifica

L'unione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A\cup B$ . Si ha che $x$ è un elemento di $A\cup B$ se e solo se $x$ è un elemento di almeno uno degli insiemi $A$ e $B$ , in simboli:

(x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B)

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data una arbitraria famiglia $\{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli $A_{\alpha }$ .

EsempiModifica

Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{2,3,4\}$ . In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi: