Integrale di Gauss

L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da a sia , è detta anche funzione gaussiana.

La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:

o l'equivalente

Una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:

dove deve essere positivo. Per una funzione a più variabili, dove è una matrice simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:

dove l'integrazione è effettuata su .

Calcolo dell'integraleModifica

L'integrale indefinito  non è esprimibile in termini di funzioni elementari; di conseguenza, anche nel caso di integrale definito è impossibile usare la primitiva di   per calcolare la differenza tra i due estremi ed ottenere il valore cercato. Tuttavia esistono alcuni metodi che permettono di aggirare il calcolo esplicito della primitiva.

Coordinate polari nel pianoModifica

Consideriamo l'integrale:

 

Consideriamo ora l'integrale:

 

Osserviamo che, posto  , possiamo scrivere:  , in virtù di ciò segue:

 

Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva, sarà sufficiente calcolare il valore dell'integrale doppio esteso ad  , che è un integrale generalizzato, e poi estrarre la radice quadrata del risultato.

Calcoliamo dunque:

 

dove   con  

Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano:

 
 

dunque:

 

Quindi

 

e quindi

 

Un altro integrale GaussianoModifica

Vediamo come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:

 

con   Riscriviamo il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:

 

Sostituendo si ha:

 

Poiché il primo membro dell'esponenziale non dipende da  , può essere portato fuori, in tal modo:

 

Effettuando il cambio di variabile

 
 

si ottiene

 

che è l'integrale Gaussiano già calcolato alla sezione precedente e che dà

 

Voci correlateModifica

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