Invariante dinamico

Grandezza scalare in meccanica razionale
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In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:

La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:

,

Da questa dimostrazione si evince infatti come ID sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.

Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.

DefinizioneModifica

Dati

 

dove   sono i punti di applicazione dei vettori  , e

 

l'invariante scalare è definito come

 

con   modulo di  ,   modulo di   e θ valore dell'angolo compreso tra   e  .

Equivalenza tra momenti di poli diversiModifica

Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè

 

con P e Q poli distinti.

DimostrazioneModifica

Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato  , vale

 

moltiplicando scalarmente per   entrambi i membri si ottiene

 

sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa

 

ma

 

perché   è parallelo a se stesso, e quindi

 

Uso dell'invariante scalareModifica

Ricerca dell'asse centraleModifica

Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante   non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:

  •  
    •   : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a  
    •   : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:
 
 
ma  , e quindi
 
  •  
    •   : allora il momento   è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:
 
  è minimo  

Massima riducibilità di un sistema di vettori applicatiModifica

L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:

  •  
    •   : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
    •   : il sistema è equivalente ad una coppia di momento  
    •   : il sistema è equivalente al vettore   applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
    •   : allora esiste un polo   . Il sistema è equivalente al vettore   applicato in Q appartenente all'asse centrale
  •  
  : il sistema è equivalente al vettore   applicato nel polo P con una coppia di momento  

BibliografiaModifica

  • Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002

Voci correlateModifica

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