Ipotrocoide

In geometria, un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio $c$ di raggio $r$ e posto a una distanza $d$ dal centro (del cerchio $c$): quando $c$ ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio $R,$ traccia l'ipotrocoide.

La curva rossa è un'ipotrocoide disegnata facendo ruotare il cerchio nero, più piccolo, dentro il cerchio blu, più grande (i parametri sono R = 5, r = 3, d = 5).

L'ellisse (disegnata in rosso) può essere espressa come un caso speciale di un'ipotrocoide dove R = 2r; nell'immagine, R = 10, r = 5, d = 1.

Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:

${\begin{cases}x(\phi )=(R-r)\cos \phi +d\cos \left({R-r \over r}\phi \right)\\y(\phi )=(R-r)\sin \phi -d\sin \left({R-r \over r}\phi \right).\end{cases}}$

L'equazione polare di un'ipotrocoide è

$\rho (\phi )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\phi \right)+d^{2},$

dove $\phi$ non è l'angolo polare $\theta ,$ ma, quando $x\neq 0,$ le due variabili sono legate dalla relazione:

$\tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {(R-r)\sin \phi -d\sin \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}{(R-r)\cos \phi +d\cos \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}}.$

Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide, relativa a $d=r,$ e l'ellisse, ottenuta quando $R=2r.$

Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi, possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo.

Voci correlate

• Epitrocoide
• Cicloide
• Ipocicloide
• Epicicloide
• Spirograph

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Ipotrocoide, su MathWorld, Wolfram Research.
• Flash Animation of Hypocycloid, su mekanizmalar.com.
• Hypotrochoid dal Dizionario Visuale delle Curve Piane Speciali, Xah Lee
• Interactive hypotrochoide animation, su geogebra.org. URL consultato il 2 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2012).