Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematicaModifica

 
Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto a/b pari a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio   che rotola su di una circonferenza di raggio   (con  ) è data da:

 
 .

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se   è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con   cuspidi. In particolare se   allora l'ipocicloide ha   cuspidi, mentre se   allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da   (quindi supponendo   abbiamo esattamente   cuspidi). Se invece   è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

 
Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra a e b razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra a e b è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

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