Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematicaModifica

 
Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto   uguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio   che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio   (con  ) è data da:

 

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se   è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con   cuspidi. In particolare se   allora l'ipocicloide ha   cuspidi; invece se   allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da   (quindi supponendo   abbiamo esattamente   cuspidi). Se invece   è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

 
Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra   e   razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra   e   è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

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