Funzione L

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In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.

Serie LModifica

Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet

 

definita sul semipiano complesso Re(s)>σ' per qualche numero reale σ'. Questa serie viene poi prolungata analiticamente a una funzione meromorfa sul piano complesso, andando a definire la funzione L vera e propria. Ad esempio, prolungano la funzione L ottenuta prendendo an = χ(n), ove χ è un carattere di Dirichlet, si ottiene la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.

Classe di SelbergModifica

Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet

 

che soddisfano i seguenti 4 assiomi:

 
per ogni ε > 0.
 
ove Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gli λj sono numeri reali positivi, e i μj sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione
 
soddisfi la relazione,
 
 ,
ove bn = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |bn| < c nθ per qualche θ < 1/2 e c > 0.

BibliografiaModifica

  • Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
  • Atle Selberg, Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, in Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, 1992, pp. 367–385, MR 1220477. Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)

Voci correlateModifica

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