Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari , sia un intero coprimo con . Si considerino gli interi:

e i loro residui modulo ridotti nell'intervallo . Sia il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

dove è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

DimostrazioneModifica

Per il criterio di Eulero si sa che

 

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di  

 

consideriamo adesso i residui di   ridotti nell'intervallo  . Allora:

  • non ci sono due residui uguali; infatti se
 
allora  , ed essendo  , ciò e possibile solo se  
  • non ci sono due residui opposti; infatti se
 
allora   ma essendo   ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui   sono tutti diversi e nell'intervallo  , dunque per il prodotto di detti residui vale

 

dove   è il numero dei residui negativi, quindi

 

e semplificando per il fattoriale di   si ottiene la tesi:

 

BibliografiaModifica

  • Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

Voci correlateModifica

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