In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.
Per ogni primo dispari
, sia
un intero coprimo con
. Si considerino gli interi:
![{\displaystyle a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d90f793337e4b6c6fccc2c97ee5a6ca6d27634)
e i loro residui modulo
ridotti nell'intervallo
. Sia
il numero di questi residui che sono negativi. Allora:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b2adfd45df3cab552583874c518593c0df665d)
dove
è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.
Per il criterio di Eulero si sa che
-
moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di
-
consideriamo adesso i residui di ridotti nell'intervallo . Allora:
- non ci sono due residui uguali; infatti se
-
- allora , ed essendo , ciò e possibile solo se
- non ci sono due residui opposti; infatti se
-
- allora ma essendo ciò è impossibile.
Di conseguenza i valori assoluti dei residui sono tutti diversi e nell'intervallo , dunque per il prodotto di detti residui vale
-
dove è il numero dei residui negativi, quindi
-
e semplificando per il fattoriale di si ottiene la tesi:
-
- Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
- Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
- Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.