Simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

DefinizioneModifica

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se   è un numero primo e   è un intero, allora il simbolo di Legendre   è uguale a:

  •   se   divide  ;
  •   se   è un quadrato modulo  , ossia se esiste un intero   tale che  , o equivalentemente se   è un residuo quadratico modulo  ;
  •   se   non è un quadrato modulo  , cioè se   non è un residuo quadratico modulo  .

La generalizzazione del simbolo di Legendre a   con   dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di LegendreModifica

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

  1.   (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
  2. Se ab (mod p), allora  
  3.  
  4.  , cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
  5.  , cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
  6.   = 1 per tutti gli a dispari e 0 per a pari
  7. Se q è un primo dispari, allora  

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

 

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlateModifica

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero composto al posto del primo p.

BibliografiaModifica

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
  • H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3
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