Lemma di Knopp

Nella teoria della misura, più precisamente nella teoria ergodica, il lemma di Knopp è un risultato formulato da Konrad Knopp.

Enunciato

Il lemma di Knopp afferma che se $B$ è un insieme misurabile secondo Lebesgue e $\,{\mathcal {C}}$ è una classe di sottointervalli di $[0,1)$ tale che

• ogni sottointervallo aperto di $[0,1)$ è unione numerabile di elementi disgiunti di ${\mathcal {C}}$;
• esiste $\gamma >0$ tale che $\lambda (A\cap B)\geq \gamma \lambda (A)$ per ogni $A\in {\mathcal {C}}$, con $\gamma$ indipendente da $A$ e $\lambda$ la misura di Lebesgue.

Allora $\lambda (B)=1$.

Dimostrazione

Per contraddizione, supponiamo che $\lambda (B^{c})>0$. Dato $\epsilon >0$ esiste un insieme $E_{\epsilon }$ che è unione disgiunta di intervalli aperti tali che $\lambda (B^{c}\Delta E_{\epsilon })<\epsilon$. Dalle condizioni (1) e (2), segue che $\lambda (B\cap E_{\epsilon })\geq \gamma \lambda (E_{\epsilon })$. Dalla scelta di $E_{\epsilon }$ e considerando che

$\lambda (B^{c}\Delta E_{\epsilon })\geq \lambda (B\cap E_{\epsilon })\geq \gamma \lambda (E_{\epsilon })\geq \gamma \lambda (B^{c}\cap E_{\epsilon })>\gamma (\lambda (B^{c})-\epsilon ),$

allora

$\gamma (\lambda (B^{c})-\epsilon )<\lambda (B^{c}\Delta E_{\epsilon })<\epsilon .$

Pertanto $\gamma \lambda (B^{c})<\epsilon +\gamma \epsilon ,$ ed essendo $\epsilon >0$ arbitrario, si ha una contraddizione.

Esempio di applicazione

Sia $m$ un intero positivo. Consideriamo la funzione $T(x)=mx-\left\lfloor mx\right\rfloor$ definita su $[0,1)$. La trasformazione $T$ preserva la misura di Lebesgue:

$T^{-1}[a,b)=\bigcup _{i=0}^{m-1}\left[{\frac {a+i}{m}},{\frac {b+i}{m}}\right),$

e

$\lambda (T^{-1}[a,b))=b-a=\lambda ([a,b)).$

Dimostriamo l'ergodicità di tale mappa utilizzando il lemma di Knopp. Si noti intanto che:

• $T^{n}(x)=m^{n}x-\lfloor m^{n}x\rfloor ;$
• $T^{n}\left(\left[{\frac {k}{m^{n}}},{\frac {k+1}{m^{n}}}\right)\right)=[0,1)$, per ogni $n\geq 1,\ 0\leq k\leq m^{n}-1.$

Sia

${\mathcal {C}}=\left\{\left[{\frac {k}{m^{n}}},{\frac {k+1}{m^{n}}}\right):n\geq 1,\ 0\leq k\leq m^{n}-1\right\}.$

Si può verificare che ${\mathcal {C}}$ soddisfa la prima ipotesi del lemma di Knopp. Sia $B\subset [0,1)$ misurabile secondo Lebesgue tale che $T^{-1}B=B$ e $\lambda (B)>0$. Per ogni elemento $A=\left[{\frac {k}{m^{n}}},{\frac {k+1}{m^{n}}}\right)\in {\mathcal {C}}$, vale:

$\lambda (A\cap B)=\lambda (A\cap T^{-n}B)={\frac {1}{m^{n}}}\lambda (B)=\lambda (A)\lambda (B).$

La seconda ipotesi del lemma di Knopp è quindi soddisfatta, prendendo $\gamma =\lambda (B)>0$. Pertanto $T$ è ergodica.

Bibliografia

• Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Peter Walters (1982): An introduction to ergodic theory, Springer, ISBN 0-387-95152-0
• Dajani, Karma: Ergodic Theory of Numbers. Mathematical Association of America, 2014, ISBN 9781614440277