Trasformazione che preserva la misura

In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.

Definizione

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Sia   uno spazio di misura e sia   una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione   preserva la misura se

 

Banalmente, la trasformazione identica   su   preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.

Esempio: diffeomorfismo di Anosov

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Sia   un  -toro. Presa   una matrice invertibile definita su   di taglia  , essa definirà naturalmente una mappa lineare da   tale che  . Essendo   una matrice a entrate intere, essa mappa   in sé. A ci permette di definire una mappa   tale che   (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui   essa è invertibile dunque un automorfismo.

Sia dunque   un diffeomorfismo di Anosov.

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è

 

dunque la trasformazione preserva la misura.

Gli autovalori della trasformazione   sono   e  , con  .

Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione   e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari:   Inoltre  , quindi   preserva la misura di Borel.

Esempio: mappa di Gauss

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La mappa di Gauss  , con  ,  , preserva la misura di Gauss   data da

 

per ogni insieme di Borel   misurabile.

 

è un'unione disgiunta, quindi

 
 
 
 
 

Caratterizzazione delle trasformazioni che preservano la misura

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Siano   spazi di probabilità, con  . Sia   una trasformazione. Sia   una semi-algebra che genera  . Allora   è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni   si ha   e  .

Bibliografia

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  • Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
  • Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
  • Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

Voci correlate

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