Lemma di Yoneda

In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria di insiemi.[1]

DefinizioniModifica

Sia   una categoria, e sia   la categoria di insiemi. La categoria di prefasci su   a valori in   è la categoria   di funtori contravarianti da   agli insiemi. Dati due funtori   l'insieme di morfismi da   a   è l'insieme   di trasformazioni naturali da   a  .

Fissato un oggetto  , di particolare rilievo è il funtore

 

che mappa un oggetto   all'insieme  . Per ogni morfismo   il funtore   associa un morfismo   al morfismo   dato da  .

EnunciatoModifica

Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:

Vi è una corrispondenza biunivoca  .

Un caso particolare è quello dove  ; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria   è una sottocategoria di   tramite il funtore  .

DimostrazioneModifica

La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:

NoteModifica

  1. ^ Fantechi, Barbara, 1966-, Fundamental algebraic geometry : Grothendieck's FGA explained, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0821835416, OCLC 61362228. URL consultato il 7 ottobre 2018.
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