Linea di trasmissione

Una linea di trasmissione senza perdite che termina con un'impedenza di carico, adattata all'impedenza caratteristica, che assorbe completamente l'onda. In questa illustrazione, il campo elettrico corrispondente alla tensione tra i due conduttori paralleli orizzontali è verticale[1] e punta dal rosso al blu. I punti neri rappresentano gli elettroni. In ogni istante t e in ogni posizione x, la tensione V(x,t) tra i due conduttori è generata dalla differenza tra il numero di elettroni liberi di conduzione presenti in essi ma, nonostante questa differenza, la corrente I(x,t) nei due conduttori, pur avendo verso opposto, è comunque uguale[2] poiché non è legata a tale numero nella posizione considerata ma dipende da quanti elettroni per unità di tempo stanno fluendo nelle posizioni adiacenti.

In elettronica ed elettrotecnica la linea di trasmissione è il componente elettronico per trasportare segnali (nel campo dell'elettronica) ed energia (nel campo dell'elettrotecnica) su grandi distanze; nel caso di trasmissione di energia elettrica, le linee sono operate in alta tensione.

Per esempio, le linee di trasmissione sono molto importanti nel campo della microelettronica, in particolare nella progettazione dell'hardware in informatica, e, in generale, tutte le volte in cui ci sono componenti che operano in alta frequenza connessi tra loro e che ricevono energia da un generatore mediante conduttori di dimensioni non trascurabili rispetto alle lunghezze d'onda in gioco. Infatti, in alcuni casi, nello studio di un circuito e nell'analisi di uno schema elettrico si applica l'approssimazione di considerare solo i generatori e i componenti, trascurando completamente i conduttori che ne garantiscono il collegamento, mentre, invece, la presenza di tali conduttori può avere degli effetti non trascurabili e, in tal caso, tale approssimazione non è più valida.

DescrizioneModifica

 
Modello generale di linea di trasmissione

Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore   ed un carico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti   e i punti   una lunghezza  . Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza   ed   ed una loro induttanza   ed   che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza   e della capacità   tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:

 

dove   è la resistenza totale nel tratto  .

La linea di trasmissione rappresenta un valido modello teorico di propagazione del segnale elettrico a cui possono essere ricondotte anche alcune strutture di guida d'onda come il cavo coassiale.

Cadute di tensione e di correnteModifica

Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra   e tra  , dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto   come:

 
 

per cui la variazione di tensione nel tratto   è:

 

 

dove   ed  . In definitiva, differenziando (in  ):

 

si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.

Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto  :

 
 

per cui la variazione di corrente dipende dal segno di   come si vede in figura:   quindi la corrente fluisce da   verso  , viceversa fluisce una corrente opposta da   a  . Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:

 

Le equazioni generali della linea di trasmissione sono:

(1) 
(2) 

dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.

Impossibilità di ottenere l'equazione delle onde nel caso generale

È possibile, con opportuni passaggi, trasformare la (1) e la (2) in equazioni differenziali alle derivate parziali in una sola funzione incognita, V(x,t) oppure I(x,t). Tuttavia, in generele, le equazioni così ottenute non si presentano nella forma di un'equazione delle onde. Affinché ciò accada, come vedremo nel prossimo paragrafo, è richiesto che R e G siano entrambi nulli.

Per esempio, allo scopo di ottenere un'equazione nella sola funzione incognita V(x,t), deriviamo la (1) rispetto a x e la (2) rispetto a t:

 
 

A questo punto, nella prima equazione sostituiamo l'espressione di   data dalla (2) e l'espressione di   data dalla seconda equazione:

 

In sintesi:

(3) 

Analogamente, allo scopo di ottenere un'equazione nella sola funzione incognita I(x,t), derivando la (1) rispetto a t e la (2) rispetto a x, completando i passaggi si ottiene:

(4) 

Come si può vedere, in entrambe le equazioni in una sola funzione incognita ottenute, non compare soltanto la derivata parziale seconda rispetto al tempo, pertanto non si tratta di ordinarie equazioni delle onde. I termini aggiuntivi sono responsabili della degradazione (cioè distorsione e attenuazione) dei segnali che si propagano lungo la linea.

Linea non dissipativaModifica

Il caso di linea non dissipativa implica che   e le equazioni (1) e (2) si riducono a:

(5) 
(6) 

derivando la (5) rispetto a x e la (6) rispetto a t:

 
 

che uguagliando danno:

(7) 

e analogamente derivando la (5) rispetto a t e la (6) rispetto a x:

(8) 

Le equazioni (7) e (8) sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionali, le cui soluzioni sono onde che si propagano con velocità costante pari a:

(9)  .

In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo non dissipativo, si ha che:

(10) 

che prende il nome di velocità di fase,   è la permeabilità magnetica e   è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (9) e la (10):

(11) 

La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:

(12) 
(13) 

cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso  . Si può ricavare l'espressione esplicita della costante   per confronto delle due soluzioni:

(14) 

che si chiama impedenza caratteristica della linea.

Dimostrazione

Infatti, come è noto, la soluzione generale dell'equazione delle onde unidimensionale (7) è del tipo

 

con   .

Allora, dalla (6) si ha

 

In sintesi, si ha

 

Dunque, integrando entrambi i membri rispetto a x, senza considerare termini costanti che possono essere ritenuti non significativi ai fini della propagazione ondosa, si ottieme

 

Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).

Linea in regime sinusoidale dissipativaModifica

Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. In tal caso, anche la tensione e la corrente in un generico punto x della linea hanno andamento sinusoidale e, applicando il metodo simbolico, scriviamo:

 
 

dove j è l'unità immaginaria e   è la frequenza angolare o pulsazione, tenendo presente che

  • ha significato fisico solo la parte reale delle grandezze complesse così introdotte,
  • eventuali fasi iniziali e, in generale, termini additivi costanti presenti all'esponente di ciascun esponenziale complesso vengono inclusi nei termini complessi   e  .

È possibile, allora, provare che dalle equazioni (1) e (2) si ottiene:

(15)  
(16)  

dove

(17) 

è la cosiddetta costante di propagazione e dove   ed   sono, rispettivamente, l'impedenza per unità di lunghezza e l'ammettenza per unità di lunghezza della linea.

Dimostrazione

Infatti, viste le espressioni di   e   in regime sinusoidale, possiamo riscrivere la (1) e la (2) nel modo seguente:

 
 

ossia

 
 

e, dividendo membro a membro per  ,

(18) 
(19) 

avendo posto

 
 

A questo punto, derivando membro a membro rispetto a x,

 
 

e poi sostituendo l'espressione ottenuta poc'anzi per   nella prima uguaglianza e l'espressione ottenuta poc'anzi per   nella seconda, otteniamo infine

 
 

ossia

 
 

avendo posto

 

La soluzione generale di queste equazioni (15) e (16) è:

(20) 
(21) 

dove

  è un numero complesso che, come vedremo nel prossimo paragrafo, nel caso di linee non dissipative si riduce all'impedenza caratteristica  

e dove

  in modo che   rappresenti la costante di attenuazione dell'onda e   è la phase-shift cioè la costante di fase.
Dimostrazione

Infatti, come è noto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti che ha la forma della (15) è del tipo

 

Allora, dalla (18) si ha

 

Supponendo  ,  ,  , esplicitando per ottenere la soluzione reale, otteniamo:

(22) 

e analogamente:

(23) 

per l'onda di corrente, dove sussiste anche la fase   dovuta alla presenza di  . Dalla (22) si vede bene che coesistono due onde, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come   (analogamente per l'onda di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase:

(24) 

con lunghezza d'onda:

(25) 
Dimostrazione

Infatti, imponendo che l'argomento del coseno sia costante, si ha

 

dove abbiamo incluso nella costante k eventuali fasi presenti, da cui:

 

da cui, ancora:

 

dove si ha il segno + per l'onda progressiva e il segno - per quella regressiva.

Inoltre, ad un istante t fissato, un'intera lunghezza d'onda   viene completata se l'argomento del coseno varia di  , pertanto deve essere:

 

da cui:

 

Inoltre, poiché la pulsazione   si ottiene moltiplicando la frequenza   per  , si ha:

 

e, infine, poiché durante un periodo T viene percorsa una lunghezza d'onda, si ha anche:

 

ossia

 

Utilizzando la (24) e la (25), possiamo dare un'altra forma alla (22):

(26)  

Regime sinusoidale non dissipativoModifica

Nel caso non dissipativo, cioè qualora  , dalla (17), l'espressione del parametro   si riduce a:

 

pertanto, in tal caso,  , quindi non vi è attenuazione, e  . Allora, per la (24), la velocità di fase diventa:

 

e ritroviamo l'espressione (9) della velocità di propagazione in una linea non dissipativa data dalle equazioni delle onde (7) e (8).

La (26) diventa in questo caso:

 

dove al solito  . Il parametro   rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.

Un caso particolare per l'onda di corrente (23) è quando si annulla la fase  , la quale è l'argomento del numero complesso

 

e vale

 

Ciò avviene per:

 

caso generale che affronteremo nel prossimo paragrafo, e in particolare avviene per

 

che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso   si riduce ad essere reale:

 

e quindi si riduce all'impedenza caratteristica, poiché

 

e l'onda di corrente si riduce a:

 

Caso non distorcenteModifica

Dalla (17):

 

si vede che nel caso in cui è verificata la condizione:

(27)  

si ha:

 

con:

 

e

 

In tal caso   non dipende più dalla frequenza, e   è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:

 

Tutto ciò ci dice che la condizione (27) è la condizione di non distorsione, cioè che il segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma mantiene la stessa forma originaria.

Per quanto riguarda l'onda di corrente (23) la condizione di non distorsione è sempre:

 

ed anche in tal caso la fase   si annulla:

 

e   diviene un numero reale perché

 

(che, nel caso della linea di trasmissione non dissipativa, ossia  , dà nuovamente  .)

Risposta della linea di trasmissioneModifica

Segnali impulsiviModifica

Caratteristiche di alcune linee di trasmissioneModifica

Cavo coassialeModifica

Il cavo coassiale è una linea di trasmissione costituita da un conduttore interno centrale e da un conduttore esterno che funge da schermo. Tra questi due conduttori, disposti in modo da essere concentrici (ovvero, sullo stesso asse), è posto un dielettrico, cioè un materiale isolante. Indicando con   il raggio del conduttore interno centrale, con   il raggio interno del conduttore esterno che fa da schermo, con   e  , rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del dielettrico posto tra i due, si ha:

 

 

e supponendo valida l'ipotesi di linea non dissipativa:

 

 

dove   e   sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica nel vuoto e   e   (generalmente uguale ad 1) sono i valori di costante dielettrica relativa e permeabilità magnetica relativa nel dielettrico;   la velocità della luce nel vuoto. Come si può notare, la velocità di propagazione all'interno del cavo dipende, in sostanza, solo da   e, poiché per i cavi solitamente in commercio  , si ha che  .

Se nella precedente espressione di   andiamo a scrivere   come   e   come   in modo che compaia l'impedenza caratteristica del vuoto   pari, come è noto, a 377 ohm, allora l'impedenza caratteristica   di un cavo coassiale, espressa in ohm, diventa:

 

Linea bifilare (doppino)Modifica

La linea bilifalare, o piattina bifilare, o doppino, è costituita da due fili paralleli, ciascuno di raggio   e posti a distanza  . Indicando con   e  , rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del dielettrico, di solito l'aria, in cui i due fili sono immersi, si ha:

 

 

e supponendo valida l'ipotesi di linea non dissipativa:

 

 

poiché per l'aria si ha   ossia   e   ossia  .

Da ciò, se andiamo a scrivere   come   e   come   in modo che compaia l'impedenza caratteristica del vuoto, segue che l'impedenza caratteristica della linea bifilare, espressa in ohm, vale:

 

NoteModifica

  1. ^ considerando solo il modo di propagazione TEM
  2. ^ sapendo che, in ogni istante, la corrente uscente dal generatore a inizio linea e quella entrante sono uguali; ciò potrebbe non essere vero se il generatore non fosse un componente a costanti concentrate, cioè se non fosse di piccole dimensioni rispetto alla lunghezza d'onda in gioco

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàGND (DE4132672-6
  Portale Elettromagnetismo: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di elettromagnetismo