Linea di trasmissione

La linea di trasmissione è costituita generalmente da un cavo o da una struttura atta a trasportare segnali (nel campo dell'elettronica) o energia (nel campo dell'elettrotecnica) per grandi distanze; nel caso di trasmissione di energia elettrica, le linee sono esercite ad alta tensione.

Una linea di trasmissione senza perdite che termina con un'impedenza di carico, adattata all'impedenza caratteristica, che assorbe completamente l'onda. In questa illustrazione, il campo elettrico corrispondente alla tensione tra i due conduttori paralleli orizzontali è verticale e punta dal rosso al blu. I punti neri rappresentano gli elettroni. In ogni istante t e in ogni posizione x, la tensione V(x,t) tra i due conduttori è generata dalla differenza tra il numero di elettroni liberi di conduzione presenti in essi ma, nonostante questa differenza, la corrente I(x,t) nei due conduttori, pur avendo verso opposto, è comunque uguale, poiché non è legata al numero di elettroni liberi di conduzione presenti nella posizione considerata ma dipende da quanti elettroni per unità di tempo stanno fluendo nelle posizioni adiacenti.

Per esempio, le linee di trasmissione sono molto importanti nel campo della microelettronica, in particolare nella progettazione dell'hardware in informatica, e, in generale, tutte le volte in cui ci sono componenti che operano in alta frequenza, connessi tra loro, e che ricevono energia da un generatore mediante conduttori di dimensioni non trascurabili rispetto alle lunghezze d'onda in gioco. Infatti, in alcuni casi, nello studio di un circuito e nell'analisi di uno schema elettrico si applica l'approssimazione di considerare solo i generatori e i componenti, trascurando completamente i conduttori che ne garantiscono il collegamento, mentre, invece, la presenza di tali conduttori può avere degli effetti non trascurabili e, in tal caso, tale approssimazione non è più valida.

Descrizione

Modello generale di linea di trasmissione.

Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore $V(x,t)$ ed un carico elettrico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti $A,A'$ e i punti $B,B'$ una lunghezza $dx$. Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza $R_{A}$ ed $R_{B}$ ed una loro induttanza $L_{A}$ ed $L_{B}$ che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza $G$ e della capacità $C$ tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:

$R_{A}^{T}=R_{A}dx$

dove $R_{A}^{T}$ è la resistenza totale nel tratto $dx$.

La linea di trasmissione rappresenta un valido modello teorico di propagazione del segnale elettrico a cui possono essere ricondotte anche alcune strutture di guida d'onda come il cavo coassiale.

Cadute di tensione e di corrente

Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra $A,A'$ e tra $B,B'$, dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto $x,x+dx$ come:

$dV_{A}=V_{A'}(x+dx,t)-V_{A}(x,t)=-R_{A}^{T}\cdot I(x,t)-L_{A}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

$dV_{B}=V_{B'}(x+dx,t)-V_{B}(x,t)=R_{B}^{T}\cdot I(x,t)+L_{B}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

per cui la variazione di tensione nel tratto $x,x+dx$ è:

$V(x+dx)-V(x)=\left[V_{A'}(x+dx,t)-V_{B'}(x+dx,t)\right]-\left[V_{A}(x,t)-V_{B}(x,t)\right]=dV_{A}-dV_{B}=-(R_{A}^{T}+R_{B}^{T})I(x,t)-(L_{A}^{T}+L_{B}^{T}){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=$

$=-(R_{A}+R_{B})dx\cdot I(x,t)-(L_{A}+L_{B})dx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=-Rdx\cdot I(x,t)-Ldx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

dove $R=R_{A}+R_{B}$ ed $L=L_{A}+L_{B}$. In definitiva, differenziando (in $dx$):

${\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.

Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto $x,x+dx$:

$\ dI_{(G)}(x,t)=-G^{T}V(x,t)$

$\ dI_{(C)}(x,t)=-C^{T}{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

per cui la variazione di corrente dipende dal segno di $V(x,t)$ come si vede in figura: $V_{A}>V_{B}$ quindi la corrente fluisce da $A$ verso $A'$, viceversa fluisce una corrente opposta da $B'$ a $B$. Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:

${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

Le equazioni generali della linea di trasmissione, note come equazioni dei telegrafisti, sono:

(1)$\ {\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

(2)$\ {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.

Impossibilità di ottenere l'equazione delle onde nel caso generale

È possibile, con opportuni passaggi, trasformare la (1) e la (2) in equazioni differenziali alle derivate parziali in una sola funzione incognita, V(x,t) oppure I(x,t). Tuttavia, in generele, le equazioni così ottenute non si presentano nella forma di un'equazione delle onde. Affinché ciò accada, come vedremo nel prossimo paragrafo, è richiesto che R e G siano entrambi nulli. Per esempio, allo scopo di ottenere un'equazione nella sola funzione incognita V(x,t), deriviamo la (1) rispetto a x e la (2) rispetto a t: ${\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}=-R{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}-L{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}$ ${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}=-G{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}-C{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}$ A questo punto, nella prima equazione sostituiamo l'espressione di ${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}$ data dalla (2) e l'espressione di ${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}$ data dalla seconda equazione: ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}=-R\left(-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}\right)-L\left(-G{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}-C{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}\right)\\[6pt]=RGV(x,t)+RC{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}+LG{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}+LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}\\[6pt]=LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{{\partial t}^{2}}}+(RC+GL){\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}+GRV(x,t)\\[6pt]\end{aligned}}$ In sintesi: (3)$\ {\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}-\left(LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{{\partial t}^{2}}}+(RC+GL){\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}+GRV(x,t)\right)=0$ Analogamente, allo scopo di ottenere un'equazione nella sola funzione incognita I(x,t), derivando la (1) rispetto a t e la (2) rispetto a x, completando i passaggi si ottiene: (4)$\ {\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{{\partial x}^{2}}}-\left(LC{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{{\partial t}^{2}}}+(RC+GL){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}+GRI(x,t)\right)=0$ Come si può vedere, in entrambe le equazioni in una sola funzione incognita ottenute, non compare soltanto la derivata parziale seconda rispetto al tempo, pertanto non si tratta di ordinarie equazioni delle onde. I termini aggiuntivi sono responsabili della degradazione (cioè distorsione e attenuazione) dei segnali che si propagano lungo la linea.

Linea non dissipativa

Il caso di linea non dissipativa implica che $R=0,G=0$ e le equazioni (1) e (2) si riducono a:

(5)$\ {\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

(6)$\ {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

derivando la (5) rispetto a x e la (6) rispetto a t:

${\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}=-L{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}$

${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}=-C{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}$

che uguagliando danno:

(7)$\ {\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}=0$

e analogamente derivando la (5) rispetto a t e la (6) rispetto a x:

(8)$\ {\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}=0$

Le equazioni (7) e (8) sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionali, le cui soluzioni sono onde che si propagano con velocità costante pari a:

(9)$\ v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ .

In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo non dissipativo, si ha che:

(10)$\ v={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

che prende il nome di velocità di fase, $\mu$ è la permeabilità magnetica e $\varepsilon$ è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (9) e la (10):

(11)$\ LC=\mu \varepsilon$

La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:

(12)$\ V(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

(13)$\ I(x,t)={\frac {1}{R_{0}}}[f(x-vt)-g(x+vt)]$

cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso $V(x,t)$. Si può ricavare l'espressione esplicita della costante $R_{0}$ per confronto delle due soluzioni:

(14)$\ R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

che si chiama impedenza caratteristica della linea.

Dimostrazione

Infatti, come è noto, la soluzione generale dell'equazione delle onde unidimensionale (7) è del tipo $V(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ con $v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ . Allora, dalla (6) si ha ${\begin{aligned}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}\\[6pt]=-C{\frac {\partial }{\partial t}}{\bigl [}f(x-vt)+g(x+vt){\bigr ]}=-C{\bigl [}(-v)\cdot f'(x-vt)+v\cdot g'(x+vt){\bigr ]}\\[6pt]=Cv{\bigl [}f'(x-vt)-g'(x+vt){\bigr ]}={\frac {C}{\sqrt {LC}}}{\bigl [}f'(x-vt)-g'(x+vt){\bigr ]}\\[6pt]={\sqrt {\frac {C}{L}}}{\bigl [}f'(x-vt)-g'(x+vt){\bigr ]}={\frac {1}{R_{0}}}{\bigl [}f'(x-vt)-g'(x+vt){\bigr ]}\\[6pt]={\frac {1}{R_{0}}}{\biggl [}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x-vt)-{\frac {\partial g}{\partial x}}(x+vt){\biggr ]}\\[6pt]\end{aligned}}$ In sintesi, si ha ${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)={\frac {1}{R_{0}}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl [}f(x-vt)-g(x+vt){\bigr ]}$ Dunque, integrando entrambi i membri rispetto a x, senza considerare termini costanti che possono essere ritenuti non significativi ai fini della propagazione ondosa, si ottieme $I(x,t)={\frac {1}{R_{0}}}[f(x-vt)-g(x+vt)]$

Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).

Linea in regime sinusoidale dissipativa

Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. In tal caso, anche la tensione e la corrente in un generico punto x della linea hanno andamento sinusoidale e, applicando il metodo simbolico, scriviamo:

$\mathbf {V} (x,t)=\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}\ \ \$ con $\ \ \ V(x,t)=Re[\mathbf {V} (x,t)]$

$\ \mathbf {I} (x,t)\ =\ \mathbf {I} (x)e^{j\omega t}\ \ \$ con $\ \ \ \ I(x,t)=Re[\mathbf {I} (x,t)]$

dove j è l'unità immaginaria e $\omega$ è la frequenza angolare o pulsazione, tenendo presente che

• ha significato fisico solo la parte reale delle grandezze complesse così introdotte,
• eventuali fasi iniziali e, in generale, termini additivi costanti presenti all'esponente di ciascun esponenziale complesso vengono inclusi nei termini complessi $\mathbf {V} (x)$ e $\mathbf {I} (x)$.

È possibile, allora, provare che dalle equazioni (1) e (2) si ottiene:

(15) $\ {\frac {d^{2}\mathbf {V} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {V} (x)=0$

(16) $\ {\frac {d^{2}\mathbf {I} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {I} (x)=0$

dove

(17)${\begin{aligned}\gamma ={\sqrt {\mathbf {Z} \mathbf {Y} }}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}\\[6pt]={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

è la cosiddetta costante di propagazione e dove $\mathbf {Z} =R+j\omega L$ ed $\mathbf {Y} =G+j\omega C$ sono, rispettivamente, l'impedenza per unità di lunghezza e l'ammettenza per unità di lunghezza della linea.

Dimostrazione

Infatti, viste le espressioni di $\mathbf {V} (x,t)$ e $\mathbf {I} (x,t)$ in regime sinusoidale, possiamo riscrivere la (1) e la (2) nel modo seguente: ${\frac {\partial }{\partial x}}[\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}]=-R\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}-L{\frac {\partial }{\partial t}}[\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}]$ ${\frac {\partial }{\partial x}}[\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}]=-G\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}-C{\frac {\partial }{\partial t}}[\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}]$ ossia $e^{j\omega t}{\frac {d}{dx}}\mathbf {V} (x)=-R\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}-j\omega L\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}$ $e^{j\omega t}{\frac {d}{dx}}\mathbf {I} (x)=-G\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}-j\omega C\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}$ e, dividendo membro a membro per $e^{j\omega t}$, otteniamo: (18)$\ {\frac {d}{dx}}\mathbf {V} (x)=-R\mathbf {I} (x)-j\omega L\mathbf {I} (x)=-\mathbf {Z} \mathbf {I} (x)$ (19)$\ {\frac {d}{dx}}\mathbf {I} (x)=-G\mathbf {V} (x)-j\omega C\mathbf {V} (x)=-\mathbf {Y} \mathbf {V} (x)$ avendo posto $\mathbf {Z} =R+j\omega L$ $\mathbf {Y} =G+j\omega C$ A questo punto, derivando membro a membro rispetto a x, ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} (x)=-\mathbf {Z} {\frac {d}{dx}}\mathbf {I} (x)$ ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} (x)=-\mathbf {Y} {\frac {d}{dx}}\mathbf {V} (x)$ e poi sostituendo l'espressione ottenuta poc'anzi per ${\frac {d}{dx}}\mathbf {I} (x)$ nella prima uguaglianza e l'espressione ottenuta poc'anzi per ${\frac {d}{dx}}\mathbf {V} (x)$ nella seconda, otteniamo infine ${\frac {d^{2}\mathbf {V} (x)}{dx^{2}}}=\mathbf {ZYV} (x)=\gamma ^{2}\mathbf {V} (x)$ ${\frac {d^{2}\mathbf {I} (x)}{dx^{2}}}=\mathbf {ZYI} (x)=\gamma ^{2}\mathbf {I} (x)$ ossia ${\frac {d^{2}\mathbf {V} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {V} (x)=0$ ${\frac {d^{2}\mathbf {I} (x)}{dx^{2}}}-\gamma ^{2}\mathbf {I} (x)=0$ avendo posto ${\begin{aligned}\gamma ={\sqrt {\mathbf {ZY} }}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}\\[6pt]={\sqrt {j^{2}\omega ^{2}LC+j\omega (RC+LG)+RG}}\\[6pt]={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

La soluzione generale di queste equazioni (15) e (16) è:

(20)$\ \mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}=\mathbf {V_{1}} e^{-\alpha x}e^{-j\beta x}+\mathbf {V_{2}} e^{\alpha x}e^{j\beta x}$

(21)$\ \ \mathbf {I} (x)={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}]={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\alpha x}e^{-j\beta x}-\mathbf {V_{2}} e^{\alpha x}e^{j\beta x}]$

dove

$\ \mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$ è un numero complesso che, come vedremo nel prossimo paragrafo, nel caso di linee non dissipative si riduce all'impedenza caratteristica $R_{0}$

e dove

$\ \gamma =\alpha +j\beta$ in modo che $\alpha$ rappresenti la costante di attenuazione dell'onda e $\beta$ rappresenti la phase-shift cioè la costante di fase.

Dimostrazione

Infatti, come è noto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti che ha la forma della (15) è del tipo $\mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}$ Allora, dalla (18) si ha ${\begin{aligned}\mathbf {I} (x)=-{\frac {1}{\mathbf {Z} }}{\frac {d}{dx}}\mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} {\frac {\gamma }{\mathbf {Z} }}e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} {\frac {\gamma }{\mathbf {Z} }}e^{\gamma x}\\[6pt]=\mathbf {V_{1}} {\frac {\sqrt {\mathbf {ZY} }}{\mathbf {Z} }}e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} {\frac {\sqrt {\mathbf {ZY} }}{\mathbf {Z} }}e^{\gamma x}=\mathbf {V_{1}} {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}e^{\gamma x}\\[6pt]=\mathbf {V_{1}} {\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} {\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}e^{\gamma x}={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}]\\[6pt]\end{aligned}}$

Supponendo $\mathbf {V_{1}} =V_{1}e^{j\phi _{1}}$, $\mathbf {V_{2}} =V_{2}e^{j\phi _{2}}$, $\mathbf {Z_{0}} =Z_{0}e^{j\varphi }$ ed esplicitando per avere la soluzione reale, otteniamo:

(22)${\begin{aligned}Re[\mathbf {V} (x)e^{j\omega t}]=\\[6pt]V(x,t)=V_{1}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1})+V_{2}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2})\\[6pt]\end{aligned}}$

e analogamente:

(23)${\begin{aligned}Re[\mathbf {I} (x)e^{j\omega t}]=\\[6pt]I(x,t)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1}-\varphi )-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2}-\varphi )\\[6pt]\end{aligned}}$

per l'onda di corrente, dove sussiste anche la fase $\varphi$ dovuta alla presenza di $Z_{0}$. Dalla (22) si vede bene che, nel caso più generale, coesistono due onde di tensione, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come $\alpha$ (analogamente, come si vede dalla (23), coesistono due onde di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase ed è data da:

(24)$\ v={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{\beta }}$

con lunghezza d'onda:

(25)$\ \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{\nu }}={v}{T}$

Dimostrazione

Infatti, imponendo che l'argomento del coseno sia costante, si ha $\omega t\mp \beta x=k$ dove abbiamo incluso nella costante k eventuali fasi presenti, da cui: $x=\mp {\frac {k-\omega t}{\beta }}$ da cui, ancora: $v={\frac {dx}{dt}}=\pm {\frac {\omega }{\beta }}$ dove si ha il segno + per l'onda progressiva e il segno - per quella regressiva. Inoltre, ad un istante t fissato, un'intera lunghezza d'onda $\lambda$ viene completata se l'argomento del coseno varia di $2\pi$, pertanto deve essere: $\beta \lambda =2\pi$ da cui: $\lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}={\frac {2\pi v}{\omega }}$ Inoltre, poiché la pulsazione $\omega$ si ottiene moltiplicando la frequenza $\nu$ per $2\pi$, si ha: $\lambda ={\frac {v}{\nu }}$ e, infine, poiché durante un periodo T viene percorsa una lunghezza d'onda, si ha anche: $v={\frac {\lambda }{T}}$ ossia $\lambda ={v}{T}$

Utilizzando la (24) e la (25), possiamo dare un'altra forma alla (22):

(26) $\ V(x,t)=V_{1}e^{-\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+V_{2}e^{\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

e, analogamente, alla (23):

(27)$\ I(x,t)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}-\varphi \right)-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}e^{\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}-\varphi \right)$

Regime sinusoidale non dissipativo

Nel caso non dissipativo, cioè qualora $R=G=0$, dalla (17), l'espressione del parametro $\gamma$ si riduce a:

$\gamma =j\omega {\sqrt {LC}}$

pertanto, in tal caso, $\alpha =0$, quindi non vi è attenuazione, e $\beta =\omega {\sqrt {LC}}$. Allora, per la (24), la velocità di fase diventa:

(24')$\ v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

e ritroviamo l'espressione (9) della velocità di propagazione in una linea non dissipativa data dalle equazioni delle onde (7) e (8).

La (26) diventa in questo caso:

$V(x,t)=V_{1}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+V_{2}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

dove al solito $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$. Il parametro $\tau _{0}={\sqrt {LC}}$ rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.

Un caso particolare per l'onda di corrente (23) è quando si annulla la fase $\varphi$, la quale è l'argomento del numero complesso

$\mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {(G-j\omega C)(R+j\omega L)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}$

e vale

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{2}}\arg {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\\[6pt]={\frac {1}{2}}\arg((RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC))={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {\omega (GL-RC)}{RG+\omega ^{2}LC}}\\[6pt]\end{aligned}}$

Ciò avviene per:

$RC=GL$

caso generale che affronteremo nel prossimo paragrafo, e in particolare avviene per

$R=G=0$

che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso $\mathbf {Z_{0}}$ si riduce ad essere reale:

$R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

e quindi si riduce all'impedenza caratteristica, poiché

$\mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {j\omega L}{j\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

e l'onda di corrente (27) si riduce a:

$I(x,t)={\frac {V_{1}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)-{\frac {V_{2}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t+{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

Caso non distorcente

Dalla (17):

$\gamma ={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}$

si vede che nel caso in cui è verificata la condizione, nota come condizione di Heaviside:

(28) $\ {\frac {R}{L}}={\frac {G}{C}}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,RC=GL$

si ha:

${\begin{aligned}\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+2j\omega {\frac {R}{L}}+\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}}}\\[6pt]={\sqrt {LC}}\left({\frac {R}{L}}+j\omega \right)=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}+j\omega {\sqrt {LC}}\\[6pt]\end{aligned}}$

da cui:

$\alpha =R{\sqrt {\frac {C}{L}}}$

e

$\beta =\omega {\sqrt {LC}}$

In tal caso, quindi, $\alpha$ non dipende più dalla frequenza e $\beta$ è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:

(24'')$\ v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

come nel caso di linea non dissipativa.

Tutto ciò ci dice che la condizione (28) è la condizione di non distorsione, cioè che il segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma mantiene la stessa forma originaria.

Per quanto riguarda l'onda di corrente (23), ragionando allo stesso modo sui parametri $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$, si comprende che la condizione di non distorsione è sempre:

$RC=GL$

ed anche in tal caso la fase $\varphi$ di $\mathbf {Z_{0}}$ si annulla:

$\varphi ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {\omega (GL-RC)}{RG+\omega ^{2}LC}}=0$.

$\mathbf {Z_{0}}$ diviene quindi reale e indipendente dalla frequenza, in quanto:

$\mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {(RG+\omega ^{2}LC)+j\omega (GL-RC)}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}={\sqrt {\frac {\left({\frac {R}{L}}+\omega ^{2}{\frac {C}{G}}\right)LG}{\left({\frac {G}{C}}+\omega ^{2}{\frac {C}{G}}\right)GC}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$ .

Allo stesso risultato si può arrivare direttamente dalla definizione di $\mathbf {Z_{0}}$:

$\mathbf {Z_{0}} ={\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}={\sqrt {\frac {\left({\frac {R}{L}}+j\omega \right)L}{\left({\frac {G}{C}}+j\omega \right)C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

Si noti che si arriva alla stessa espressione ottenuta nel caso della linea di trasmissione non dissipativa. In questo caso però l'attenuazione è ancora presente, visto che $R$ e $G$ sono in generale differenti da $0$.

Fattore di velocità e lunghezza elettrica

Abbiamo visto, con la (24), che, in regime sinusoidale, fissata la frequenza e quindi la pulsazione, la velocità di propagazione entro una linea è

$\ v={\frac {\omega }{\beta }}$

e, in particolare, se la linea è non dissipativa, o non distorcente, per la (24') o per la (24''), si ha:

$v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

In generale, ad una data frequenza, si definisce fattore di velocità in una linea di trasmissione, spesso indicato con $VF$ (dall'inglese velocity factor) il rapporto tra la velocità di propagazione entro la linea e la velocità di propagazione c dei segnali elettromagnetici nel vuoto:

$VF={\frac {v}{c}}={\frac {\omega }{c\beta }}$

Evidentemente, nel caso di una linea non dissipativa o non distorcente, esso non dipende dalla frequenza e si ha:

$\ VF={\frac {v}{c}}={\frac {\omega }{c\beta }}={\frac {1}{c{\sqrt {LC}}}}$

Essendo, in base alla teoria della relatività ristretta, c la massima velocità possibile, necessariamente si ha:

$\ 0<VF\leqslant 1$

Come mostra la (10), la velocità di propagazione entro una linea è correlata al dielettrico in essa impiegato, cioè al materiale isolante che separa i due conduttori con cui è realizzata la linea. Per esempio, ecco una tabella che mostra il fattore di velocità per alcuni cavi coassiali presenti in commercio, il quale può essere approssimato come costante nell'approssimazione di trattare tali cavi come linee non dissipative:

Cavo coassiale	Fattore di velocità
RG 58 C/U MIL M17/028	0,66
RG214/U MIL M17/075/U MIL M17/075	0,66
RG 58 C/U FOAM	0,80
RG 213/U TYPE	0,66
FOAM XT2400	0,81

Dalla (25) si può vedere che un'applicazione del fattore di velocità è quella di calcolare, a parità di frequenza, di quanto diminuisce la lunghezza d'onda entro la linea rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico. Infatti, fissata la frequenza, è facile mostrare che la lunghezza d'onda $\lambda$ che si ha entro la linea è ridotta rispetto a quella nel vuoto $\lambda _{0}$ di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:

(25')$\ \lambda =VF\cdot \lambda _{0}$

Dimostrazione
Infatti, detta $\nu$ la frequenza, dalla (25) si ha: $\ \lambda ={\frac {v}{\nu }}={\frac {VF\cdot c}{\nu }}=VF\cdot {\frac {c}{\nu }}=VF\cdot \lambda _{0}$

Esempio

Calcolare la lunghezza di uno spezzone ${\frac {\lambda }{4}}$, ossia da un quarto di lunghezza d'onda, di cavo coassiale RG-213/U alla frequenza $\nu =20\ MHz$. Nel vuoto si ha: $\ \lambda _{0}={\frac {c}{\nu }}={\frac {3\cdot 10^{8}\ m/s}{20\ MHz}}={\frac {3\cdot 10^{8}\ m/s}{20\cdot 10^{6}s^{-1}}}=15\ m$ Dalla tabella precedente, sappiamo che per il cavo coassiale RG 213/U il fattore di velocità è $VF=0,66$. Pertanto, entro la linea si ha: $\ \lambda =VF\cdot \lambda _{0}=0,66\cdot 15m\approx 10m$ da cui: $\ {\frac {\lambda }{4}}\approx 2,5m$

La (25') può essere generalizzata per una lunghezza generica che non sia necessariamente la lunghezza d'onda, osservando che, a parità di tempo di propagazione di un segnale, la lunghezza $l$ percorsa dal segnale entro la linea diminuisce, rispetto alla lunghezza $l_{0}$ che sarebbe percorsa nel vuoto, o in una linea avente il vuoto come dielettrico, di un fattore pari proprio al fattore di velocità, cioè:

(25'')$\ l=VF\cdot l_{0}$

Se come lunghezza $l$ si considera proprio la lunghezza geometrica di un tratto di linea di trasmissione, la corrispondente lunghezza $l_{0}$ che sarebbe percorsa nel vuoto prende il nome di lunghezza elettrica dello stesso tratto di linea e risulta maggiore della lunghezza geometrica.

Dimostrazione
Infatti, detta $T$ il tempo di propagazione, si ha: $\ l=vT=(VF\cdot c)\ T=VF\cdot (ct)=VF\cdot l_{0}$

Impedenza d'ingresso e coefficiente di riflessione lungo la linea

Impedenza d'ingresso in un punto della linea

Si definisce impedenza d'ingresso in un generico punto di una linea di trasmissione il rapporto tra la tensione ai capi di un generatore e la corrente erogata dallo stesso generatore connesso in quel punto della linea. In regime sinusoidale, indicate con $\mathbf {V} (x)$ e $\mathbf {I} (x)$, rispettivamente, la tensione e la corrente in un generico punto x della linea, l'impedenza d'ingresso in tal punto è definita come:

(29) $\ \mathbf {Z_{in}} (x)={\frac {\mathbf {V} (x)}{\mathbf {I} (x)}}$

Anche se il generatore è connesso a inizio linea, ossia nel punto $x=0$, anche in un altro punto x della linea l'impedenza d'ingresso è comunque espressa dalla (29).

Assodato ciò, riscriviamo la (20) e la (21) nel seguente modo:

(20')${\begin{aligned}\mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}\\[6pt]=\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)\\[6pt]\end{aligned}}$

(21')${\begin{aligned}\mathbf {I} (x)={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}]\\[6pt]={\frac {1}{\mathbf {Z_{0}} }}[\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)]\\[6pt]\end{aligned}}$

avendo indicato con $\mathbf {V_{F}} (x)$ e $\mathbf {V_{R}} (x)$, rispettivamente, l'onda progressiva e l'onda regressiva di tensione.

Sostituendo nell'espressione dell'impedenza d'ingresso in un generico punto, otteniamo:

(29')${\begin{aligned}\mathbf {Z_{in}} (x)={\frac {\mathbf {V} (x)}{\mathbf {I} (x)}}\\[6pt]\ =\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}+\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}{\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}-\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}}\\[6pt]=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)}}\\[6pt]\end{aligned}}$

Inoltre, notiamo che, prima dalla (20') insieme alla (29), poi dalla (21'), si ha:

(20'')$\ \mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)=\mathbf {I} (x)\mathbf {Z_{in}} (x)=\mathbf {V} (x)$

(21'')$\ \mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)=\mathbf {I} (x)\mathbf {Z_{0}}$

il che evidenzia la diversità tra impedenza d'ingresso in un punto della linea e impedenza caratteristica.

Coefficiente di riflessione

Si definisce, invece, coefficiente di riflessione in un generico punto di una linea di trasmissione il rapporto tra l'onda di tensione regressiva e quella progressiva. Se l'onda regressiva è generata da una riflessione che avviene per la presenza di un carico a fine linea, si dice anche che il coefficiente di riflessione è definito come il rapporto tra l'onda di tensione riflessa e quella diretta:

(30)$\ \rho (x)={\frac {\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}={\frac {\mathbf {V_{2}} e^{\gamma x}}{\mathbf {V_{1}} e^{-\gamma x}}}={\frac {\mathbf {V_{2}} e^{-\gamma x}}{\mathbf {V_{1}e^{\gamma x}} }}={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}e^{2\gamma x}={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}e^{2\alpha x}e^{2j\beta x}$

da cui $\rho (x=0)={\frac {\mathbf {V_{2}} }{\mathbf {V_{1}} }}$, $\ \rho (x)=[\rho (x=0)]e^{2\gamma x}$.

Se la linea di trasmissione è dissipativa, al variare della posizione x lungo la linea, la rappresentazione parametrica di $\rho (x)$ nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$ descrive una curva a spirale, a causa della presenza del termine $e^{2\alpha x}$.

Se, invece, la linea è non dissipativa, come visto in precedenza, si ha $\alpha =0$ e $\beta =\omega {\sqrt {LC}}$ e, per la (25), $\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}$, pertanto, al variare della posizione x lungo la linea, la rappresentazione parametrica di $\rho (x)$ nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$, ossia

(31)$\ \rho (x)=[\rho (x=0)]e^{2j\beta x}=[\rho (x=0)]e^{2j{\frac {2\pi }{\lambda }}x}$,

visto che l'esponenziale con esponente immaginario è una funzione periodica con modulo unitario, descrive una circonferenza, con modulo costante pari al raggio, percorsa in senso antiorario al crescere della distanza x dal generatore, completando un giro in mezza lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{2}}$, che è il periodo della funzione.

Supponiamo, ora, che una linea di trasmissione termini con un carico che ha impedenza $\mathbf {Z_{L}}$. Oltre alla coordinata spaziale x, introduciamo una seconda coordinata spaziale $l$ che indica la distanza dal carico, pertanto è crescente nel senso inverso rispetto alla coordinata x, ossia andando dal carico verso il generatore, e il punto $l=0$ corrisponde al carico, dunque, evidentemente, si ha:

(32)$\ \mathbf {Z_{in}} (l=0)=\mathbf {Z_{L}}$

Inoltre, procedendo in senso inverso, il coefficiente di riflessione ha il seguente andamento:

(30')$\ \rho (l)=[\rho (l=0)]e^{-2\gamma l}$

e, se la linea è non dissipativa, la rappresentazione parametrica di $\rho (l)$ nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$, ossia

(31')$\ \rho (l)=[\rho (l=0)]e^{-2j\beta l}=[\rho (l=0)]e^{-2j{\frac {2\pi }{\lambda }}l}$,

descrive una circonferenza percorsa in senso orario, sempre con periodo ${\frac {\lambda }{2}}$.

È possibile provare una relazione che lega coefficiente di riflessione, impedenza d'ingresso e impedenza caratteristica (o più precisamente il parametro complesso $\mathbf {Z_{0}}$ che nel caso di linea non dissipativa si riduce a quest'ultima):

(33)$\ {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}$

oppure, analogamente:

(33')$\ {\frac {\mathbf {Z_{in}} (l)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (l)}{1-\rho (l)}}$

Dimostrazione

Infatti, dividendo membro a membro la (20'') e la (21''), abbiamo: ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)}}\\[6pt]={\frac {\frac {\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}{\frac {\mathbf {V_{F}} (x)-\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}}={\frac {1+{\frac {\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}}{1-{\frac {\mathbf {V_{R}} (x)}{\mathbf {V_{F}} (x)}}}}\\[6pt]={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}\\[6pt]\end{aligned}}$

Invertendo la (33) si ottiene:

(34)$\ \rho (x)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x)+\mathbf {Z_{0}} }}$

oppure, analogamente:

(34')$\ \rho (l)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (l)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (l)+\mathbf {Z_{0}} }}$

Dimostrazione

Infatti, dalla (33) si ha: ${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x)+\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}-1}{{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}+1}}={\frac {{\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}-1}{{\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}+1}}\\[6pt]={\frac {\frac {1+\rho (x)-1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}{\frac {1+\rho (x)+1-\rho (x)}{1-\rho (x)}}}={\frac {2\rho (x)}{2}}=\rho (x)\\[6pt]\end{aligned}}$

Adesso, osserviamo che se applichiamo la (33') e la (34') a distanza nulla $l=0$ dal carico, ricordando la (32), per il coefficiente di riflessione a fine linea si ha:

(33'')$\ {\frac {\mathbf {Z_{L}} }{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (l=0)}{1-\rho (l=0)}}$

(34'')$\ \rho (l=0)={\frac {\mathbf {Z_{L}} -\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{L}} +\mathbf {Z_{0}} }}$

Dalla (34'') si evince che:

• se la linea è cortocircuitata alla fine, ossia se $\mathbf {Z_{L}} =0$, allora $\rho (l=0)=-1$ e si parla di riflessione negativa, cioè, a fine linea c'è una riflessione totale e l'onda riflessa di tensione, rispetto a quella diretta, è invertita di fase;
• se la linea è aperta alla fine, ossia se $\mathbf {Z_{L}} =\infty$, allora $\rho (l=0)=+1$ e si parla di riflessione positiva, cioè, a fine linea c'è una riflessione totale e l'onda riflessa di tensione, rispetto a quella diretta, non è invertita di fase;
• infine, se $\mathbf {Z_{L}} =\mathbf {Z_{0}}$, allora $\rho (l=0)=0$, dunque non c'è onda riflessa e si dice che c'è adattamento di impedenza tra il carico e la linea; in tal caso, dalla (30') si evince che il coefficiente di riflessione è nullo lungo tutta la linea.

Andamento dell'impedenza d'ingresso lungo la linea

Con la (29) e la (29') abbiamo visto come si può esprimere l'impedenza d'ingresso in un punto della linea. Tuttavia, spesso, si pone il problema di volere determinare il valore numerico di tale impedenza conoscendone il valore in un altro punto della linea e conoscendo la distanza tra i due punti. In proposito, indicando nuovamente con x la coordinata spaziale crescente andando dal generatore verso il carico, è possibile dimostrare la seguente relazione:

(35)$\ \mathbf {Z_{in}} (x)=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-\mathbf {Z_{0}} \tanh(\gamma x)}{\mathbf {\mathbf {Z_{0}} -Z_{in}} (x=0)\tanh(\gamma x)}}$

oppure, indicando nuovamente con $\mathbf {Z_{L}}$ l'impedenza del carico a fine linea e con $l$ la distanza dal carico, la quale è crescente andando dal carico verso il generatore, si ha:

(35')$\ \mathbf {Z_{in}} (l)=\mathbf {Z_{0}} {\frac {\mathbf {Z_{L}} +\mathbf {Z_{0}} \tanh(\gamma l)}{\mathbf {\mathbf {Z_{0}} +Z_{L}} \tanh(\gamma l)}}$

Dimostrazione

Infatti, osserviamo che dalla (33) abbiamo: $\ {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}=$ per la (30) $\ ={\frac {1+[\rho (x=0)]e^{2\gamma x}}{1-[\rho (x=0)]e^{2\gamma x}}}=$ dividendo numeratore e denominatore per $e^{\gamma x}$ $\ ={\frac {e^{-\gamma x}+[\rho (x=0)]e^{\gamma x}}{e^{-\gamma x}-[\rho (x=0)]e^{\gamma x}}}=$ per la (34) $\ ={\frac {e^{-\gamma x}+{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x=0)+\mathbf {Z_{0}} }}e^{\gamma x}}{e^{-\gamma x}-{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x=0)+\mathbf {Z_{0}} }}e^{\gamma x}}}=$ $\ ={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)e^{-\gamma x}+\mathbf {Z_{0}} e^{-\gamma x}+\mathbf {Z_{in}} (x=0)e^{\gamma x}-\mathbf {Z_{0}} e^{\gamma x}}{\mathbf {Z_{in}} (x=0)e^{-\gamma x}+\mathbf {Z_{0}} e^{-\gamma x}-\mathbf {Z_{in}} (x=0)e^{\gamma x}+\mathbf {Z_{0}} e^{\gamma x}}}=$ $\ ={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)(e^{\gamma x}+e^{-\gamma x})-\mathbf {Z_{0}} (e^{\gamma x}-e^{-\gamma x})}{\mathbf {Z_{0}} (e^{\gamma x}+e^{-\gamma x})-\mathbf {Z_{in}} (x=0)(e^{\gamma x}-e^{-\gamma x})}}=$ e dividendo numeratore e denominatore per $(e^{\gamma x}+e^{-\gamma x})$ $\ ={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-\mathbf {Z_{0}} \tanh(\gamma x)}{\mathbf {\mathbf {Z_{0}} -Z_{in}} (x=0)\tanh(\gamma x)}}$ da cui, moltiplicando primo e ultimo membro per $\mathbf {Z_{0}}$, si ottiene la (35). Per dimostrare anche la (35'), basta osservare che la (35) resta comunque valida ovunque si collochi l'origine $x=0$ della coordinata $x$. In particolare, nel caso in cui la si ponga a fine linea, quindi in corrispondenza del carico, in modo che coincida esattamente con l'origine $l=0$ della coordinata $l$, risulta: $x=-l$ e per la (32): $\ \mathbf {Z_{in}} (x=0)=\mathbf {Z_{in}} (l=0)=\mathbf {Z_{L}}$ A questo punto, sostituendo nella stessa (35) e ricordando che la tangente iperbolica è una funzione dispari, si ottiene proprio la (35').

Se la linea è non dissipativa, ricordiamo di nuovo che $\mathbf {Z_{0}}$ diviene un numero reale e si riduce all'impedenza caratteristica $R_{0}$ e che si ha $\alpha =0$, $\beta =\omega {\sqrt {LC}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$, dunque $\gamma =j{\frac {2\pi }{\lambda }}$. Sostitundo questa espressione nella (35) e nella (35') e ricordando che, in generale,

$\tanh(j\beta )=j\cdot \tan(\beta )$,

otteniamo:

(36)$\ \mathbf {Z_{in}} (x)=R_{0}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}{R_{0}-j\mathbf {Z_{in}} (x=0)\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}}$

oppure:

(36')$\ \mathbf {Z_{in}} (l)=R_{0}{\frac {\mathbf {Z_{L}} +jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}{R_{0}+j\mathbf {Z_{L}} \tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}}$

Dalle proprietà della funzione tangente comprendiamo che, nel caso di una linea non dissipativa, come il coefficiente di riflessione, anche l'impedenza d'ingresso, al variare della posizione lungo la linea, presenta un andamento periodico con periodo pari a mezza lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{2}}$.

Esempio 1: Nota impedenza del carico, calcolare impedenza in un punto della linea

Supponiamo che una linea di trasmissione non dissipativa abbia impedenza caratteristica $\mathbf {Z_{0}} =R_{0}=50\ \Omega$ e che sia connessa ad un carico con impedenza $R_{L}=200\ \Omega$. Calcoliamo l'impedenza d'ingresso che si ha alla distanza di un quarto di lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{4}}$, dal carico. Per prima cosa, ricordiamo che, in generale, la lunghezza di un tratto di linea di trasmissione, corrispondente a una certa frazione della lunghezza d'onda, può essere calcolata come mostrato nell'esempio visto nel paragrafo dedicato al fattore di velocità. In questo esempio specifico, tuttavia, non occorre calcolare esplicitamente tale lunghezza $l$, poiché nella (36') compare il rapporto tra $l$ e la lunghezza d'onda $\lambda$, dunque se $l$ è espressa come frazione di $\lambda$, accade che $\lambda$ si semplifica. Poiché per $l={\frac {\lambda }{4}}$ la funzione $\tan \left({\frac {2\pi }{\lambda }}l\right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}\right)$ non è definita, occorre considerare il limite: $\ \mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{4}}\right)=\lim _{l\to {\frac {\lambda }{4}}}R_{0}{\frac {R_{L}+jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}{R_{0}+jR_{L}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}}={\frac {R_{0}^{2}}{R_{L}}}=12,5\ \Omega$ Per fare un altro esempio, calcoliamo anche l'impedenza d'ingresso che si ha alla distanza di un ottavo di lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{8}}$, dal carico, sempre con $R_{0}=50\ \Omega$ e $R_{L}=200\ \Omega$. In tal caso, per $l={\frac {\lambda }{8}}$ si ha $\tan \left({\frac {2\pi }{\lambda }}l\right)=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)=1$, da cui: $\ \mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{8}}\right)=R_{0}{\frac {R_{L}+jR_{0}}{R_{0}+jR_{L}}}=50{\frac {200+j50}{50+j200}}\ \Omega \approx (23,5-j44,1)\ \Omega$

Esempio 2: Nota impedenza in un punto della linea, calcolare impedenza del carico

Supponiamo che una linea di trasmissione non dissipativa abbia impedenza caratteristica $\mathbf {Z_{0}} =R_{0}=50\ \Omega$ e di avere misurato l'impedenza d'ingresso a inizio linea ottenendo il valore $\mathbf {Z_{in}} (x=0)\approx 8,3\ \Omega$ Calcoliamo l'impedenza $\mathbf {Z_{L}}$ del carico a fine linea, posto a distanza ${\frac {\lambda }{4}}$ dall'inizio della linea. In questo caso, per il calcolo, occorre utilizzare la (36) invece della (36') e si ha: $\mathbf {Z_{L}} =\mathbf {Z_{in}} \left(x={\frac {\lambda }{4}}\right)=\lim _{x\to {\frac {\lambda }{4}}}R_{0}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x=0)-jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}{R_{0}-j\mathbf {Z_{in}} (x=0)\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}x)}}={\frac {R_{0}^{2}}{\mathbf {Z_{in}} (x=0)}}$ $=R_{L}\approx 300\ \Omega$

Invertitori di impedenza con tratti λ/4 di linea non dissipativa

Consideriamo una linea non dissipativa, per cui $\mathbf {Z_{0}}$ è un numero reale che si riduce all'impedenza caratteristica $R_{0}$.

In tal caso, come mostrano anche gli esempi precedenti, applicando la (36'), a distanza $l={\frac {\lambda }{4}}$ da un carico con impedenza $\mathbf {Z_{L}}$ posto a fine linea, l'impedenza di ingresso è data da:

$\ \mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{4}}\right)=\lim _{l\to {\frac {\lambda }{4}}}R_{0}{\frac {\mathbf {Z_{L}} +jR_{0}\tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}{R_{0}+j\mathbf {Z_{L}} \tan({\frac {2\pi }{\lambda }}l)}}={\frac {R_{0}^{2}}{\mathbf {Z_{L}} }}$

da cui:

$\ {\frac {\mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{4}}\right)}{R_{0}}}={\frac {R_{0}}{\mathbf {Z_{L}} }}$

In pratica, con una linea non dissipativa accade che l'impedenza di ingresso, che si ha a un quarto di lunghezza d'onda dal carico, risulta inverasmente proporzionale all'impedenza del carico. Per tale motivo, si dice che un tratto $\lambda /4$ di linea non dissipativa si comporta da invertitore di impedenza.

In particolare,

• se la linea alla fine è cortocircuitata, ossia $\mathbf {Z_{L}} =0$, allora si ha $\mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{4}}\right)=\infty$, cioè l'impedenza di ingresso a inizio linea coincide con quella di un circuito aperto;
• se la linea alla fine è aperta, ossia $\mathbf {Z_{L}} =\infty$, allora si ha $\mathbf {Z_{in}} \left(l={\frac {\lambda }{4}}\right)=0$, cioè l'impedenza di ingresso a inizio linea coincide con quella di un cortocircuito.

Naturalmente, quando si realizza un invertitore di impedenza, per calcolare la lunghezza del tratto di linea $\lambda /4$, si deve tenere conto del fattore di velocità ($\lambda =VF\cdot \lambda _{0}$).

Se una linea presenta delle perdite, ossia non è perfettamente non dissipativa, allora la (36') non si può applicare e il funzionamento da invertitore di impedenza di un tratto $\lambda /4$ diviene solo approssimato.

Rapporto di onda stazionaria

In generale, come mostra la (20'), la tensione in un punto della linea è data dalla somma dei contributi dell'onda progressiva e di quella regressiva:

$\ \mathbf {V} (x)=\mathbf {V_{F}} (x)+\mathbf {V_{R}} (x)$

Se l'onda regressiva è generata da una riflessione che avviene per la presenza di un carico $\mathbf {Z_{L}}$ a fine linea, allora si può dire che si tratta della somma tra onda diretta e quella riflessa.

Un'onda stazionaria come interferenza di due onde contrarie della stessa frequenza. Con una linea non dissipativa, ciò accade per $|\rho |=1\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,ROS=\infty$.

Come è noto, la somma tra un'onda progressiva e un'onda regressiva che abbiano stessa frequenza, stessa velocità di propagazione e stessa ampiezza dà luogo ad un'onda stazionaria. In regime sinusoidale, ad una data frequenza, nel caso di una linea non dissipativa, per la quale non c'è attenuazione e il modulo $|\rho |$ del coefficiente di riflessione è costante lungo la linea, se tale modulo vale 1, cosa che, come mostra la (34''), accade se la linea alla fine è cortocircuitata o aperta, allora onda diretta e onda riflessa hanno la stessa ampiezza e si ottiene soltanto un'onda stazionaria. Se $|\rho |$ vale 0, non c'è onda riflessa, cosa che accade in caso di adattamento tra carico e linea, e si ha soltanto l'onda progressiva. Negli altri casi, si ha una situazione intermedia tra queste due.

Per descrivere ciò, si definisce ROS (Rapporto di Onda Stazionaria) o anche, in inglese, VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), o semplicemente SWR (Standing Wave Ratio), il rapporto tra il valore massimo e il valore minimo del modulo della tensione $\mathbf {V} (x)$ lungo la linea:

$\ ROS={\frac {|\mathbf {V} |_{max}}{|\mathbf {V} |_{min}}}$

Risulta evidente che:

• ci sono particolari punti, lungo la linea, in cui la somma tra onda diretta $\mathbf {V_{F}} (x)$ e onda riflessa $\mathbf {V_{R}} (x)$ dà luogo ad interfrenza costruttiva e, per la (30), in tali punti si ha:

$|\mathbf {V} |_{max}=|\mathbf {V_{F}} |+|\mathbf {V_{R}} |=|\mathbf {V_{F}} |+|\rho |\cdot |\mathbf {V_{F}} |=(1+|\rho |)\cdot |\mathbf {V_{F}} |$

• e particolari punti, lungo la linea, in cui la somma tra onda diretta $\mathbf {V_{F}} (x)$ e onda riflessa $\mathbf {V_{R}} (x)$ dà luogo ad interfrenza distruttiva e in tali punti, invece, si ha:

$|\mathbf {V} |_{min}=||\mathbf {V_{F}} |-|\mathbf {V_{R}} ||=||\mathbf {V_{F}} |-|\rho |\cdot |\mathbf {V_{F}} ||=|1-|\rho ||\cdot |\mathbf {V_{F}} |$

Ma per una linea non dissipativa, come abbiamo visto, il coefficiente di riflessione ha modulo costante. Allora, dalla (34''), in ogni punto della linea si ha:

(37)$\ |\rho |=|\rho (l=0)|={\frac {|\mathbf {Z_{L}} -\mathbf {Z_{0}} |}{|\mathbf {Z_{L}} +\mathbf {Z_{0}} |}}$

da cui si deduce che

(38)$\ 0\leqslant |\rho |\leqslant 1$

e quindi $1-|\rho |\geqslant 0$.

Da ciò segue ancora che possiamo scrivere:

$|\mathbf {V} |_{max}=(1+|\rho |)\cdot |\mathbf {V_{F}} |$

$|\mathbf {V} |_{min}=(1-|\rho |)\cdot |\mathbf {V_{F}} |$

da cui:

(39)$\ ROS={\frac {|\mathbf {V} |_{max}}{|\mathbf {V} |_{min}}}={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}$

Dalla (39) risulta evidente che:

• poiché con una linea non dissipativa il modulo $|\rho |$ del coefficiente di riflessione è costante, allora anche il ROS è costante su tutta la linea;
• inoltre, si ha sempre:

(40)$\ ROS\geqslant 1$

e si ha:

• $ROS=1\$ quando $|\rho |=0$, ossia quando il coefficiente di riflessione è nullo, cosa che, come abbiamo visto in precedenza, accade per $\mathbf {Z_{L}} =\mathbf {Z_{0}}$, ossia quando c'è adattamento di impedenza tra il carico e la linea per cui non c'è onda riflessa;
• $ROS=\infty \$ quando $|\rho |=1$, cosa che accade se la linea alla fine è cortocircuitata o aperta.

In realtà, poiché con una linea non dissipativa $\mathbf {Z_{0}}$ si riduce all'impedenza caratteristica, ossia $\mathbf {Z_{0}} =R_{0}$, la condizione con la quale si ha $ROS=1$ può essere scritta $\mathbf {Z_{L}} =R_{0}$.

Osserviamo adesso che, come è noto, la potenza assorbita da un carico è proporzionale al quadrato della tensione ad esso applicata. Allora, visto che con una linea non dissipativa il modulo $|\rho |$ del coefficiente di riflessione è costante, applicando la definizione (30) di coefficiente di riflessione a fine linea dove c'è il carico $\mathbf {Z_{L}}$, si ha:

$|\rho |=|\rho (l=0)|={\frac {|\mathbf {V_{R}} (l=0)|}{|\mathbf {V_{F}} (l=0)|}}={\frac {\sqrt {P_{R}}}{\sqrt {P_{F}}}}={\sqrt {\frac {P_{R}}{P_{F}}}}$

dove $P_{R}$ e $P_{F}$ sono, rispettivammente, la potenza riflessa e la potenza diretta sul carico $\mathbf {Z_{L}}$.

Allora, dalla (39) si ha:

(41)$\ ROS={\frac {1+{\sqrt {\frac {P_{R}}{P_{F}}}}}{1-{\sqrt {\frac {P_{R}}{P_{F}}}}}}$

Infine, un'altra particolare espressione del ROS può essere ottenuta nel caso in cui una linea non dissipativa termini con un carico puramente resistivo. Infatti, in tal caso, oltre all'impedenza caratteristica $\mathbf {Z_{0}} =R_{0}$, anche l'impedenza del carico diviene un numero reale $\mathbf {Z_{L}} =R_{L}$. Allora, dalla (39) e dalla (37) si ha:

$\ ROS={\frac {1+|\rho |}{1-|\rho |}}={\frac {1+{\frac {|R_{L}-R_{0}|}{|R_{L}+R_{0}|}}}{1-{\frac {|R_{L}-R_{0}|}{|R_{L}+R_{0}|}}}}$

da cui si ottiene:

(42)$\ ROS={\begin{cases}{\frac {R_{L}}{R_{0}}}\ ,&{\mbox{per }}R_{L}>R_{0}\\\ 1\ \ \ ,&{\mbox{per }}R_{L}=R_{0}\\{\frac {R_{0}}{R_{L}}}\ ,&{\mbox{per }}R_{L}<R_{0}\end{cases}}$

in accordo con la disuguaglianza (40).

Lo strumento per la misura del rapporto di onda stazionaria è il rosmetro.

Introduzione alla carta di Smith

Nei precedenti paragrafi abbiamo visto che è possibile descrivere matematicamente come varia l'impedenza d'ingresso lungo una linea di trasmissione. In particolare, nel caso di una linea non dissipativa, il suo andamento è espresso dalla (36) o dalla (36'). Esiste, tuttavia, una particolare rappresentazione che, una volta compresone appieno l'impiego pratico, consente di ottenere gli stessi risultati in modo più semplice, senza ricorrere ad alcuna formula matematica complessa, ma ricorrendo semplicemente a particolari strumenti grafici, quali righello e compasso. Si tratta della carta di Smith, il cui utilizzo non si limita affatto alla descrizione dell'andamento dell'impedenza d'ingresso, ma si applica anche ad altre grandezze fisiche e a calcoli di vario tipo.

La carta di Shmith è un nomogramma, in pratica una particolare rappresentazione grafica, che consente di risolvere in modo immediato numerosi problemi, che per via analitica potrebbero risultare difficili da affrontare. Tale rappresentazione grafica viene realizzata nel piano complesso in cui le coordinate cartesiane

$\left\{{\begin{matrix}u=Re[\rho ]\ \\w=Im[\rho ]\ \end{matrix}}\right.$

sono la parte reale e la parte immaginaria del coefficiente di riflessione $\rho$ in una generica posizione lungo una linea di trasmissione e consiste nel rappresentare in tale piano due famiglie di curve, in modo che dall'intersezione di tali curve si ottenga un particolare valore di una grandezza fisica complessa, come un'impedenza o un'ammettenza. Una delle due famiglie di curve descrive la parte reale della grandezza fisica considerata, nel senso che ciascuna curva della prima famiglia è il luogo dei punti del piano in cui la parte reale della grandezza considerata assume un valore costante, mentre l'altra famiglia descrive la parte immaginaria, nel senso che ciascuna curva della seconda famiglia è il luogo dei punti del piano in cui la parte immaginaria assume un valore costante. In un generico punto del piano, quindi, si intersecano una curva di una famiglia e una curva dell'altra, ottenendo i valori della parte reale e della parte immaginaria della grandezza fisica considerata, ossia, in definitiva, il valore complesso della stessa grandezza fisica.

Tipicamente, la grandezza fisica considerata è l'impedenza di ingresso normalizzata in una generica posizione lungo la linea, cioè l'impedenza di ingresso divisa per l'impedenza caratteristica, oppure l'ammettenza normalizzata che ne è il reciproco.

Le due famiglie di curve costituiscono, a tutti gli effetti, un secondo sistema di coordinate che si affianca al sistema di coordinate cartesiane e, se in un dato punto del piano complesso le coordinate cartesiane danno il valore del coefficiente di riflessione $\rho$ in una certa posizione lungo la linea di trasmissione, allora nello stesso punto del piano le coordinate associate alle particolare coppia di curve che si intersecano in esso danno il valore della grandezza fisica considerata nella stessa posizione lungo la linea.

Vantaggio delle coordinate cartesiane adottate nel caso di una linea non dissipativa

Consideriamo una linea di trasmissione non dissipativa, ancora in regime sinusoidale, avendo fissato la frequenza e quindi la pulsazione. In tal caso, come abbiamo visto nel paragrafo dedicato al coefficiente di riflessione, per la (31), accade che, al variare della posizione lungo la linea, al crescere della coordinata spaziale x andando dal generatore verso il carico, la rappresentazione parametrica del coefficiente di riflessione $\rho (x)$ nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$ descrive una circonferenza, con modulo costante pari al raggio, percorsa in senso antiorario, completando un giro in mezza lunghezza d'onda, ossia ${\frac {\lambda }{2}}$, che è il periodo della funzione. Invece, per la (31'), al crescere della coordinata spaziale $l$ andando dal carico verso il generatore, la rappresentazione parametrica del coefficiente di riflessione $\rho (l)$ descrive una circonferenza percorsa in senso orario, sempre con periodo ${\frac {\lambda }{2}}$.

In sintesi, con una linea non dissipativa, nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$, diventa immediato descrivere come varia la grandezza fisica considerata lungo la linea poiché è sufficiente spostarsi lungo le corconferenze centrate nell'origine, il cui raggio corrisponde al modulo del coefficiente di riflessione.

Poiché, come mostra la (38), con una linea non dissipativa il modulo $|\rho |$ del coefficiente di riflessione è compreso tra 0 e 1, tutte queste circonferenze hanno raggio $\leqslant 1$, dunque, evidentemente, nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$, il dominio della carta di Shmith è rappresentato dal cerchio di raggio unitario centrato nell'origine.

Impedenze normalizzate e carta di Smith delle impedenze

Si definisce impedenza d'ingresso normalizzata in una generica posizione x lungo una linea di trasmissione il rapporto:

(43) $\ \mathbf {z_{in}} (x)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)}{\mathbf {Z_{0}} }}$

Analogamente, l'impedenza del carico normalizzata è definita come il rapporto:

(44) $\ \mathbf {z_{L}} ={\frac {\mathbf {Z_{L}} }{\mathbf {Z_{0}} }}$

Alcune delle relazioni viste nei paragrafi precedenti possono essere riscritte in termini di impedenze normalizzate.

Innanzitutto, dividendo membro a membro la (32) per $\mathbf {Z_{0}}$, si ha:

(45)$\ \mathbf {z_{in}} (l=0)=\mathbf {z_{L}}$

Inoltre, banalmente, la (33) si può riscrivere:

(46)$\ \mathbf {z_{in}} (x)={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}$

oppure, la (33'), analogamente:

(46')$\ \mathbf {z_{in}} (l)={\frac {1+\rho (l)}{1-\rho (l)}}$

In particolare, a distanza nulla $l=0$ dal carico, ossia a fine linea, ricordando la (45), la (33'') si riscrive:

(46'')$\ \mathbf {z_{L}} ={\frac {1+\rho (l=0)}{1-\rho (l=0)}}$

Invertendo la (46) si può riscrivere la (34) nel modo seguente:

$\ \rho (x)={\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{in}} (x)+\mathbf {Z_{0}} }}={\frac {\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)-\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{0}} }}{\frac {\mathbf {Z_{in}} (x)+\mathbf {Z_{0}} }{\mathbf {Z_{0}} }}}$

ossia:

(47)$\ \rho (x)={\frac {\mathbf {z_{in}} (x)-1}{\mathbf {z_{in}} (x)+1}}$

oppure, analogamente, la (34') si riscrive:

(47')$\ \rho (l)={\frac {\mathbf {z_{in}} (l)-1}{\mathbf {z_{in}} (l)+1}}$

In particolare, a distanza nulla $l=0$ dal carico, ossia a fine linea, ricordando la (45), la (34'') si riscrive:

(47'')$\ \rho (l=0)={\frac {\mathbf {z_{L}} -1}{\mathbf {z_{L}} +1}}$

e, ricordando nuovamente che lungo una linea non dissipativa il coefficiente di riflessione ha modulo costante, la (37) si riscrive:

(48)$\ |\rho |=|\rho (l=0)|={\frac {|\mathbf {z_{L}} -1|}{|\mathbf {z_{L}} +1|}}$

dunque, nella carta di Smith, il raggio delle circonferenze centrate nell'origine che vengono descritte al variare della posizione lungo una linea non dissipativa è correlato all'impedenza normalizzata del carico a fine linea.

Assodato ciò, data una linea non dissipativa, vogliamo determinare, nel piano complesso $(Re[\rho ],Im[\rho ])$, le famiglie di curve corrispondenti ai luoghi dei punti in cui la parte reale e la parte immaginaria dell'impedenza d'ingresso normalizzata $\mathbf {z_{in}} (x)$, in una generica posizione x lungo la linea di trasmissione, assumono valori costanti.

A tal scopo, osserviamo che, posto:

$\ \ \rho (x)\ \ =\rho \ \ \ =Re[\rho ]\ \ \ +j\ Im[\rho ]\ \ \ =u\ \ \ +jw$

$\ \mathbf {z_{in}} (x)=\mathbf {z_{in}} =Re[\mathbf {z_{in}} ]+j\ Im[\mathbf {z_{in}} ]=r_{in}+jx_{in}\ ,$

dalla (46) si ha:

(49)${\begin{aligned}\ \mathbf {z_{in}} =r_{in}+jx_{in}\\[6pt]={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}$

Dimostrazione
Infatti, per la (46): ${\begin{aligned}\ \mathbf {z_{in}} (x)={\frac {1+\rho (x)}{1-\rho (x)}}={\frac {1+u+jw}{1-u-jw}}\\[6pt]={\frac {(1+u+jw)(1-u+jw)}{(1-u-jw)(1-u+jw)}}={\frac {(1+jw)^{2}-u^{2}}{(1-u)^{2}-(jw)^{2}}}\\[6pt]={\frac {1+2jw-w^{2}-u^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}+j\left({\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}$

Considerando la parte reale, dalla (49) si ha:

$r_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}$

che può essere riscritta nel modo seguente:

(50)$\ \ \left(u-{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+r_{in}}}\right)^{2}$

mentre, considerando la parte immaginaria, dalla (49) si ha:

$x_{in}={\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}$

che può essere riscritta nel modo seguente:

(51)$\ \ {\bigl (}u-1{\bigr )}^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{in}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{in}^{2}}}$

Dimostrazione

Infatti, partendo dalla relazione ottenuta dalla (49) considerando la parte reale: $r_{in}={\frac {1-u^{2}-w^{2}}{(1-u)^{2}+w^{2}}}$ ossia: $r_{in}(1-u)^{2}+r_{in}w^{2}=1-u^{2}-w^{2}$ $r_{in}(u-1)^{2}+u^{2}-1+r_{in}w^{2}+w^{2}=0$ $r_{in}(u-1)^{2}+u^{2}-1+r_{in}w^{2}+w^{2}+{\frac {1}{1+r_{in}}}={\frac {1}{1+r_{in}}}$ ${\biggr [}r_{in}(u-1)^{2}+(u^{2}-1)+{\frac {1}{1+r_{in}}}{\biggl ]}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}$ Ma: ${\begin{aligned}{\biggr [}r_{in}(u-1)^{2}+(u^{2}-1)+{\frac {1}{1+r_{in}}}{\biggl ]}=r_{in}u^{2}-2ur_{in}+r_{in}+u^{2}-1+{\frac {1}{1+r_{in}}}\\[6pt]=(1+r_{in})u^{2}+(1+r_{in}){\biggr [}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}-1}{1+r_{in}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {(r_{in}-1)(1+r_{in})}{(1+r_{in})^{2}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}-1}{(1+r_{in})^{2}}}+{\frac {1}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]=(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}\\[6pt]\end{aligned}}$ Sostituendo nell'uguaglianza precedente otteniamo: $(1+r_{in}){\biggr [}u^{2}-2u{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}+{\frac {r_{in}^{2}}{(1+r_{in})^{2}}}{\biggl ]}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}$ $(1+r_{in}){\biggr [}u-{\frac {r_{in}}{1+r_{in}}}{\biggl ]}^{2}+(1+r_{in})w^{2}={\frac {1}{1+r_{in}}}$ da cui, dividemdo membro a membro per $(1+r_{in})$, si ha la (50). Invece, partendo dalla relazione ottenuta dalla (49) considerando la parte immaginaria: $x_{in}={\frac {2w}{(1-u)^{2}+w^{2}}}$ ossia: $(1-u)^{2}+w^{2}={\frac {2w}{x_{in}}}$ $(1-u)^{2}+w^{2}-{\frac {2w}{x_{in}}}=0$ $(u-1)^{2}+w^{2}-{\frac {2w}{x_{in}}}+{\frac {1}{x_{in}^{2}}}={\frac {1}{x_{in}^{2}}}$ da cui la (51).

Da ciò segue che nel piano complesso

$\left\{{\begin{matrix}u=Re[\rho ]\ \\w=Im[\rho ]\ \end{matrix}}\right.$

l'equazione del luogo dei punti per cui la parte reale dell'impedenza normalizzata di ingresso è costante, ossia $r_{in}=r_{0}$, si scrive:

(50')$\ \ \left(u-{\frac {r_{0}}{1+r_{0}}}\right)^{2}+w^{2}=\left({\frac {1}{1+r_{0}}}\right)^{2}$

che è l'equazione di una circonferenza di raggio $1/(1+r_{0})$ e centro $(r_{0}/(1+r_{0}),0)$. Ad esempio, i punti caratterizzati da $r_{in}=1$ si trovano sulla circonferenza centrata in $(1/2,0)$ e di raggio 1/2.

Invece, l'equazione del luogo dei punti per cui la parte immaginaria dell'impedenza normalizzata di ingresso è costante, ossia $x_{in}=x_{0}$, si scrive:

(51')$\ \ {\bigl (}u-1{\bigr )}^{2}+\left(w-{\frac {1}{x_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{x_{0}^{2}}}$

che è l'equazione di una circonferenze di raggio $1/|x_{0}|$ e centro $(1,1/x_{0})$. Considerando il limite di queste circonferenze per $x_{0}\to 0$, si deduce che i punti a parte immaginaria nulla collassano sull'asse delle ascisse (asse orizzontale delle u) della carta di Smith.

Una carta di Smith.

Nella figura al lato possiamo osservare una carta di Smith con tali circonferenze.

Le circonferenze corrispondenti ai luoghi dei punti del piano in cui la parte reale dell'impedenza normalizzata è costante, ossia $r_{in}=r_{0}$