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In elettronica, un circuito RLC è un circuito elettronico contenente solo resistori, induttori e condensatori. Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga solamente elementi passivi. Il nome del circuito deriva dai simboli delle grandezze fisiche che caratterizzano gli elementi passivi, rispettivamente resistenza elettrica, induttanza e capacità elettrica.

I circuiti RLC sono sistemi dinamici lineari. Un circuito RLC costituisce un oscillatore armonico per la corrente elettrica ed entra in risonanza seguendo le medesime leggi fisiche del circuito LC. La differenza rispetto a quest'ultimo è la presenza del resistore, che smorza le oscillazioni indotte nel circuito qualora non siano sostenute da una sorgente.

Indice

RLC in serie e in paralleloModifica

Nelle figure a destra sono raffigurati i circuiti RLC in serie e parallelo.

RLC in serieModifica

 
Circuito RLC in serie con generatore costante.

Si consideri il circuito RLC in serie in figura, con generatore di tensione costante (cioè con  ). Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni si ottiene:

 

e, sostituendo le relazioni costitutive degli elementi:

 

Derivando una volta rispetto a   e dividendo per l'induttanza  , si può riscrivere l'equazione in forma differenziale:

 

Dunque la presenza di un generatore costante non influisce sulle equazioni: la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza generatore, come se fosse in evoluzione libera. Si definiscono poi due parametri:

 

detta costante di smorzamento e:

 

detta pulsazione di risonanza.

RLC in paralleloModifica

 
Circuito RLC in parallelo con generatore costante.

Considerato il circuito RLC in parallelo in figura, con generatore di corrente costante, applicando la legge di Kirchhoff delle correnti si ottiene:

 

Sostituendo le relazioni costitutive degli elementi:

 

Derivando una volta rispetto a   e dividendo per la capacità  , si può riscrivere l'equazione in forma differenziale:

 

La presenza di un generatore costante di corrente non influisce sulle equazioni: la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza il generatore stesso, come se fosse in evoluzione libera. Si definiscono i due parametri:

 

detta costante di smorzamento (da notare che è diversa da quella del circuito in serie) e:

 

detta pulsazione di risonanza che coincide con quella ottenuta per l'RLC in serie.

Soluzione dell'equazioneModifica

Entrambe le equazioni che governano il circuito RLC in serie e parallelo sono della forma:

 

dove   sono due costanti che devono essere risolte imponendo le condizioni iniziali. La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali con costanti di tempo   e  . Dal grafico della soluzione si vede che la risposta   non oscilla poiché predomina il termine esponenziale e quindi la risposta si annulla velocemente. Al crescere di   la risposta è dominata dal primo esponenziale. Imponendo le condizioni iniziali:

 
 

le costanti   si ottengono risolvendo questo sistema:

 

Smorzamento criticoModifica

In tal caso, il circuito si dice con smorzamento critico, essendo   (la costante di smorzamento uguale alla pulsazione di risonanza), e le due radici sono reali e coincidenti  , la soluzione prende la forma:

 

dove   devono determinarsi imponendo le condizioni iniziali. La soluzione ha un esponenziale reale e il grafico della risposta presenta un massimo per   dopo il quale tende a zero. Imponendo le condizioni iniziali:

 
 

le costanti   si ottengono risolvendo questo sistema:

 

Smorzamento deboleModifica

In tal caso, il circuito si dice sottosmorzato (smorzato debolmente), essendo   (la costante di smorzamento minore della pulsazione di risonanza), e le radici sono complesse e coniugate:

 

con   unità immaginaria  . Definendo:

 

la soluzione prende la forma:

 

dove   devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Scegliendo:

 
 

la soluzione può essere posta nella forma:

 

La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali uguali e l'oscillazione della risposta è modulata dal valore di questi esponenziali   con costanti di tempo uguali  . Imponendo le condizioni iniziali:

 
 

le costanti   si ottengono risolvendo questo sistema:

 

Smorzamento nulloModifica

In tal caso il circuito è senza smorzamento essendo   (la costante di smorzamento nulla), le radici sono immaginari puri:   e la soluzione prende la forma:

 

dove   oppure   devono essere determinati imponendo le condizioni iniziali. Nel circuito in serie   significa   e in quello parallelo  , in entrambi i casi la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai. Anche in questo caso le costanti sono:

 

ConsiderazioniModifica

 
Circuito RLC in serie con generatore costante

Per quanto riguarda le soluzioni del circuito RLC in serie la soluzione permette di trovare a seconda dei casi il valore di  . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

 
 
 

con   costante. Da notare che in questo caso per   risulta  ,   e   cioè l'induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto  .

 
Circuito RLC in parallelo con generatore costante

Nel caso del circuito RLC in parallelo le soluzione permette di ricavare a seconda dei casi la  . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

 
 
 

RLC in regime sinusoidaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Circuito risonante.

Il circuito RLC in serie e in parallelo risulta semplificato se si studia in regime sinusoidale, per il quale si utilizza il metodo simbolico.

RLC serie in regime sinusoidaleModifica

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in serie e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni fasoriali:

 
 
 

con   sempre unità immaginaria. Possiamo dunque calcolare l'impedenza del circuito:

 

in questa forma abbiamo una resistenza   ed una reattanza  . Vediamo allora che la reattanza si annulla per:

 

per la pulsazione   detta pulsazione di risonanza. L'ammettenza per questa pulsazione

 

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

RLC parallelo in regime sinusoidaleModifica

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in parallelo e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni, tenendo conto del generatore  :

 
 
 

È conveniente in questo caso calcolare l'ammettenza:

 

in questa forma abbiamo una conduttanza   ed una suscettanza  . Vediamo allora che la suscettanza si annulla per:

 

per la frequenza   detta frequenza di risonanza. L'impedenza per questa frequenza

 

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

Esempio di analisi di un circuito RLC come sistema dinamico lineare stazionario tramite la trasformata di LaplaceModifica

Nel caso del circuito RLC mostrato in figura il vettore di stato   è costituito dalla corrente   che passa attraverso l'induttore di induttanza   e dalla tensione   ai capi del condensatore di capacità  , dove l'ingresso   è la tensione del generatore mentre il vettore delle uscite   è dato, ad esempio, dalle correnti che passano attraverso il resistore di resistenza   e resistore di resistenza  . Applicando le equazioni costitutive dei bipoli nonché le equazioni topologiche o leggi di Kirchhoff si ha:

 

Pertanto, sostituendo l'ultima relazione nelle precedenti e ponendo

 

Definendo  ,  ,   e   come matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano lo stato   e gli ingressi  , avremo:

 

Nel nostro caso, si ha che:

 
 
 
 

Si supponga per esempio di voler determinare l'andamento della seconda variabile di stato a partire da un dato istante  , ipotizzando che il valore iniziale della stessa fosse nullo e l'andamento dell'ingresso coincida con un impulso di Dirac centrato in  . Nel dominio di Laplace l'ingresso ha dunque valore identicamente unitario, quindi avremo:

 

Pertanto:

 

Antitrasformando per passare al dominio del tempo:

 

Dove:

 
 

Oscillatore idealeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico.

Supponiamo  : questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere, passando al dominio di Laplace:

 .

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

 

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione e alla relativa frequenza   il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza  .

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