Logica polivalente
Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.
Logiche ad infiniti valori di veritàModifica
Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:
- la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
- la cosiddetta logica fuzzy di Zadeh;
- la logica (fuzzy) polivalente di Gödel;
- la logica (fuzzy) prodotto.
Logica polivalente di GödelModifica
In tale formulazione si hanno le seguenti::
- se e altrimenti.
Logica polivalente prodottoModifica
In tale formulazione si hanno le seguenti::
- se e altrimenti.
Logiche polivalenti e doppia negazioneModifica
È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:
- P → ¬¬P è un teorema
- ¬¬P → P non è teorema.
- ¬P → ¬¬¬P è un teorema.
- ¬¬¬P → ¬P è un teorema.
Logiche generiche. T-normaModifica
Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:
- Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
- Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d;
- Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
- Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
- 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.
Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.
Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).
Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.
Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).
Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x.
Voci correlateModifica
Collegamenti esterniModifica
- (EN) Petr Cintula, Christian G. Fermüller, Carles Noguera, Fuzzy logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
- (EN) Siegfried Gottwald, Many-valued logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.