Loop (algebra)

struttura algebrica non associativa

Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

DefinizioneModifica

Un loop consiste di un insieme non vuoto   dotato di un'operazione binaria

 

tale che:

  1. esiste un elemento  , detto neutro, tale che   per ogni  ;
  2. l'equazione   ha un'unica soluzione  
  3. l'equazione   ha un'unica soluzione  

ProprietàModifica

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Loop, envelope e folderModifica

Dato un loop   definiamo alcune mappe caratteristiche

  • le traslazioni sinistre,  
  • le traslazioni destre,  
  • le deviazioni centrali,  
  • le deviazioni sinistre,  
  • le deviazioni destre,  

Tali mappe ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono

  • il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop
  • il gruppo   delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop
  • il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop

Tali gruppi agiscono in modo naturale su   come elementi del gruppo simmetrico su  . In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla   dove   è lo stabilizzatore in   dell'elemento neutro e   l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla   dove   è un gruppo,   è un sottogruppo di   ed   è un trasversale sinistro del quoziente   per ogni   prende il nome di folder.

Left loop e condizione di BruckModifica

Famiglie di loopModifica

Loop di Moufang (da Ruth Moufang)Modifica

Si tratta di un loop   che soddisfa l'identità   per ogni a, b, c in  .

ProprietàModifica

  • I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
  • La seguente identità
(ab)(ca) = (a(bc))a

(moltiplicazione per giustapposizione) è equivalente a ciascuna delle seguenti

a(b(ac)) = ((ab)a)c
a(b(cb)) = ((ab)c)b

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un Moufang loop.

  • Caratterizzando le precedenti identità ponendo pari all'elemento neutro uno degli elementi, si ha
a(ab) = (aa)b
(ab)b = a(bb)
a(ba) = (ab)a

pertanto, tutti i Moufang loops sono alternativi.

  • Moufang ha dimostrato inoltre che il subloop generato da uno dei due elementi del Moufang loop è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i Moufang loops manifestano la associatività della potenza.
  • Quando si lavora con i Moufang loops, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Loop ottonionicoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Ottonioni.

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.

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