Loop (algebra)

Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Definizione

Un loop consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria

${\begin{aligned}\cdot \colon L\times L&\to L,\\(a,b)&\mapsto a\cdot b,\end{aligned}}$

tale che:

1. esiste un elemento $1_{L}$, detto neutro, tale che $1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}=a$ per ogni $a\in L$;
2. l'equazione $a\cdot x=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$;
3. l'equazione $x\cdot a=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$.

Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo $ab$ invece di $a\cdot b.$

Proprietà

• ogni quasigruppo dotato di elemento neutro è un loop ed ogni loop è un left loop;
• ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro;
• un loop associativo è un gruppo.

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Loop, envelope e folder

Dato un loop $(L,\cdot )$ definiamo alcune funzioni caratteristiche:

• Le traslazioni sinistre: $\lambda _{a}(x):=a\cdot x.$
• Le traslazioni destre: $\rho _{a}(x):=x\cdot a.$
• Le deviazioni centrali: $\tau _{a}(x):=\rho _{a}\lambda _{a}^{-1}(x).$
• Le deviazioni sinistre: $\delta _{a,\,b}^{\lambda }(x):=\lambda _{a\cdot \,b}^{-1}\lambda _{a}\lambda _{b}(x).$
• Le deviazioni destre: $\delta _{a,\,b}^{\rho }(x):=\rho _{a\cdot \,b}^{-1}\rho _{b}\rho _{a}(x).$

Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:

• il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
• il gruppo $G(L)$ delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
• il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.

Tali gruppi agiscono in modo naturale su $L$ come elementi del gruppo simmetrico su $L$. In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla $\xi ={\big (}G(L),H(L),\Lambda {\big )}$ dove $H(L)$ è lo stabilizzatore in $G(L)$ dell'elemento neutro e $\Lambda$ l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla $\xi =(G,H,L)$ dove $G$ è un gruppo, $H$ è un sottogruppo di $G$ ed $L$ è un trasversale sinistro del quoziente $G/H^{g}$ per ogni $g\in G$ prende il nome di folder.

Famiglie di loop

Loop di Moufang (da Ruth Moufang)

Si tratta di un loop $(L,\cdot )$ che soddisfa l'identità $(ab)(ca)=(a(bc))a$ per ogni $a,b,c$ in $L$.

Proprietà

• I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
• La seguente identità

$(ab)(ca)=(a(bc))a$

è equivalente a ciascuna delle seguenti:

$a(b(ac))=((ab)a)c;$

$a(b(cb))=((ab)c)b.$

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.

• Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha

$a(ab)=(aa)b;$

$(ab)b=a(bb);$

$a(ba)=(ab)a.$

Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.

• Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
• Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Loop ottonionico

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.