Metodo delle corde

In matematica, e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle corde (o metodo delle secanti con estremo fisso) è uno dei metodi di iterazione funzionale più semplici per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $\,f(x)=0$. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo $[a,b]$ che contiene una sola radice.

Le prime tre iterazioni del metodo delle secanti con estremo fisso. La curva blu è la funzione f(x), ed i segmenti rossi sono le secanti.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti con il seguente criterio: assegnato un punto iniziale $x_{0}$, per ogni $n\geq 0$ il punto $x_{n+1}$ sia lo zero della retta passante per il punto $(x_{n},f(x_{n}))$ e di coefficiente angolare

$m={\frac {f(a)-f(x_{n})}{a-x_{n}}},$

ovvero quello della retta passante per i punti $(x_{n},f(x_{n}))$ e $(a,f(a)).$

Iterando il procedimento del calcolo dell'intersezione delle varie rette con l'asse delle ascisse, si ottiene la relazione di ricorrenza

$x_{n+1}=a-f(a){\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}.$

Il metodo delle corde converge linearmente se, detta $\alpha$ la soluzione corretta, vale

$0<{\frac {f'(\alpha )}{m}}<2.$

In altri termini, $m$ e $f'(\alpha )$ devono avere lo stesso segno e l'intervallo $[a,b]$ deve soddisfare la condizione

$b-a<2{\frac {f(b)-f(a)}{f'(\alpha )}}.$

Negli altri casi il metodo potrebbe non convergere affatto.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle tangenti
• Metodo delle secanti