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Radice (matematica)

In matematica, una radice di una funzione è un elemento nel dominio di tale che . La definizione quindi generalizza la nozione di radicale, che è in questa chiave la radice delle funzioni della forma:

Questa definizione è molto importante in algebra quando è un polinomio, per cui si parla anche di zero.

In analisi complessa le radici di un polinomio sono dette zeri. Il teorema fondamentale dell'algebra garantisce l'esistenza di un numero di radici (contate con molteplicità) uguale al grado del polinomio.

Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann.

DefinizioneModifica

Sia   una funzione fra due insiemi, tale che   contiene un elemento "zero". Ad esempio,   può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento   è una radice di   se

 

in altre parole, se l'immagine di   tramite   è zero (vedi la voce nucleo per una trattazione da un punto di vista algebrico).

EsempiModifica

Denotiamo con   l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale   data da:

 

Il numero 3 è radice di  , perché  . Più in generale, le radici di una funzione   sono i punti in cui il grafico di   interseca l'asse  . Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite.

Molteplicità di una radiceModifica

Si definisce la molteplicità di una radice   di un polinomio   come il numero naturale   tale che

 

dove   è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini,   è il numero di volte in cui possiamo dividere   per  .

Se il polinomio   si "spezza" come

 

allora la molteplicità di   è il numero di volte che compare fra i vari  . La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si possa fattorizzare, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio

 

ha la radice zero con molteplicità 2, infatti

 

e 0 non è radice di  .

Numero di radiciModifica

Usando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio   di grado   ha al più   radici, nel modo seguente:

  • se   otteniamo una equazione di primo grado, che ha sempre una sola soluzione;
  • per  : se   è una radice di  , allora il teorema di Ruffini asserisce che  , dove   è un altro polinomio di grado  . Per l'ipotesi induttiva   ha al più   radici distinte. D'altra parte, se   allora   oppure  : quindi una radice di   è   oppure è radice di  . Quindi   ha al più   radici.

Sempre usando il teorema di Ruffini, si vede che   ha   radici se e solo se possiamo scrivere

 

dove   sono numeri reali distinti (le radici di  ).

Radici multiple e valore della derivata
Il teorema di Ruffini permette di osservare facilmente che se   è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata del polinomio si annulla in   ,cioè  . Basta osservare che il polinomio si scompone come   e che calcolando la derivata, si ottiene un polinomio multiplo di  

Equazione   (con   polinomio di grado  )
L'equazione è equivalente a  . Poiché   è un polinomio di grado  , l'equazione ammette sempre n radici (tenuto conto delle radici multiple). È possibile dimostrare che esistono al massimo   valori di   per cui l'equazione ammette radici multiple (equivalentemente: esistono al massimo   valori di   per cui la controimmagine   ha cardinalità inferiore a  ).

La dimostrazione utilizza quanto detto sopra rispetto al fatto che se   è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata   si annulla.

Radici di polinomi realiModifica

Determinazione completaModifica

Un polinomio in una variabile a coefficienti reali è interpretabile come una particolare funzione  . Lo studio delle radici di un dato   è stato sempre un problema centrale nello sviluppo della matematica, che equivale a risolvere l'equazione  , il cui grado è pari al grado di  . Il teorema di Niels Henrik Abel e Paolo Ruffini asserisce che non esistono sempre formule analoghe per le equazioni di grado maggiore al quarto, per cui è necessario l'ausilio della teoria dei gruppi. Alcune di queste sono tuttavia riconducibili con la Regola di Ruffini a equazioni di grado minore o uguale al quarto, per cui la soluzione sotto forma di radicale esiste sempre.

Determinazione parzialeModifica

  • Il criterio di Cartesio trova il numero massimo di radici reali positive e/o negative di un polinomio di grado finito.
  • Il criterio di Routh-Hurwitz trova invece il numero di radici a parte reale positiva e/o negativa di un polinomio di grado finito.
  • Il criterio di Jury stabilisce se un polinomio di grado finito abbia radici di modulo minore di uno.

Polinomi semplici notevoliModifica

Un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno. In particolare:

Polinomi e radici complesseModifica

Un polinomio reale può non avere radici: ad esempio   non ne ha, perché   per ogni  . Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio   ha due radici:  .

Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio   a coefficienti complessi ha almeno una radice (il campo complesso è algebricamente chiuso). Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che   si può sempre scrivere come

 

dove   sono numeri complessi non necessariamente distinti.

Determinazione numericaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Calcolo di uno zero di una funzione.

Viene in aiuto, per calcolare gli zeri di funzioni non polinomiali, l'analisi numerica, che ha sviluppato vari metodi iterativi che, seppur non fornendo il valore esatto del punto, vi si avvicinano con approssimazioni accettabili. I metodi principali sono:

Voci correlateModifica