Misura discreta

In matematica, più precisamente nella teoria della misura, una misura sulla retta reale è detta misura discreta (rispetto alla misura di Lebesgue) se il suo supporto è al più un insieme numerabile.

Definizione e proprietàModifica

Una misura   definita sugli insiemi Lebesgue misurabili della retta reale a valori   è detta essere discreta se esiste una successione di numeri:

 

tale che:

 

L'esempio più semplice di misura discreta sulla retta reale è la delta di Dirac  . Si ha che   e  .

Più generalmente, se   è una successione di numeri reali,   una sequenza di numeri in   della stessa lunghezza, allora si può considerare la misura di Dirac   definita come:

 

per ogni insieme Lebesgue misurabile  . Quindi, la misura:

 

è una misura discreta. In effetti, si può dimostrare che ogni misura discreta sulla retta reale ha questa forma per una scelta appropriata di   e  .

EstensioniModifica

La nozione di misura discreta può essere estesa al caso più generale degli spazi misurabili. Dato uno spazio misurabile   e due misure   and   su di esso,   si dice discreta rispetto alla misura   se esiste un sottoinsieme al più numerabile   di   tale che:

  • Tutti i singoletti   con   in   sono misurabili (che implica che ogni sottoinsieme di   è misurabile)
  •  
  •  

Si noti che i primi due requisiti sono sempre soddisfatti per un sottoinsieme al più numerabile della retta reale se   è la misura di Lebesgue, quindi non sono necessarie nella definizione data inizialmente.

Come nel caso delle misure sulla retta reale, una misura   su   è discreta rispetto ad un'altra misura   sullo stesso spazio se e solo se   ha la forma:

 

dove   e il singoletto   sono in  , e la loro  -misura è 0.

Si può anche definire il concetto di discretezza per le misure con segno. Quindi al posto delle condizioni 2 e 3 sopra si deve chiedere che   sia zero su tutti i sottoinsiemi misurabili   e   deve essere zero sui sottoinsiemi misurabili di  .

BibliografiaModifica

  • (EN) V. G. Kurbatov, Functional differential operators and equations, Kluwer Academic Publishers, 1999, ISBN = 0792356241.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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