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In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Indice

FunzioniModifica

Sia   uno spazio topologico, e   uno spazio vettoriale. Sia:

 

Si definisce supporto di   l'insieme:[1]

 

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misuraModifica

Il supporto di una misura   su uno spazio misurabile   è la chiusura del sottoinsieme di   i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia   uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

 

CurveModifica

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia   la parametrizzazione di una curva:

 

allora il suo supporto   è l'immagine di  , cioè l'insieme:

 

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva   e la curva   hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Supporto singolareModifica

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione   eccetto per il punto  . Nello specifico, essa ha la forma:

 

La trasformata possiede quindi un supporto singolare   e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata)   che associa alla funzione di test   il valore principale di Cauchy di:

 

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 36.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
  • (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
  • (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlateModifica

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