Morfologia matematica

La morfologia matematica (brevemente MM) è una teoria ed una tecnica per l'analisi delle forme geometriche. Solitamente si applica nell'elaborazione digitale delle immagini (computer grafica), ma anche in grafi, e nella geometria solida.

Una figura (in blu), con la sua dilatazione (in verde) e la sua erosione (in giallo).

Storia

La Morfologia matematica è nata nel 1964 dal lavoro collaborativo di Georges Matheron e Jean Serra, alla École des mines di Parigi, in Francia. Nel 1968 fu fondato a Fontainebleau, (Francia) da École des mines il centro di morfologia matematica diretto da essi.

I primi anni hanno lavorato sulle immagini binarie trattate come insiemi e generate da un grande numero di operatori e tecniche binarie: Trasformazione hit-or-miss, espansione (o dilatazione), erosione, apertura, chiusura, granulometria, assottigliamento, scheletrizzazione, bisettore condizionale ed altri.

Operatori di base

Gli operatori di base sono invarianti alla traslazione e sono: erosione, dilatazione, apertura e chiusura. Nel seguito E indica uno spazio euclideo o una griglia discreta.

Erosione

L'erosione di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}

,

dove B_z è la traslazione di B grazie al vettore z, ad esempio, $B_{z}=\{b+z|b\in B\}$ , $\forall z\in E$ .

Espansione

La espansione, da alcuni autori chiamata anche dilatazione, di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}

.

L'espansione è commutativa, ovvero: $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$ .

L'espansione può anche essere ottenuta con: $A\oplus B=\{z\in E|(B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}$ , dove B^s è la rotazione simmetrica di B, ovvero $B^{s}=\{x\in E|-x\in B\}$ .