Analisi del moto e derivazione della traiettoria
modifica
Definendo il momento meccanico specifico il vettore:
c
=
r
×
a
{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {r} \times \mathbf {a} }
Nel caso di moto centrale , si ha che
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
c
=
0
{\displaystyle \mathbf {c} =0}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
centro di massa , il quale può essere supposto fermo, si ha che il momento meccanico specifico è pari alla derivata prima rispetto al tempo del momento angolare specifico
h
{\displaystyle \mathbf {h} }
d
h
d
t
=
d
d
t
(
r
×
v
)
=
c
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )=\mathbf {c} =0}
dunque si ha che
h
{\displaystyle \mathbf {h} }
seconda legge di Keplero . La velocità areolare
A
˙
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}
A
˙
=
r
×
v
2
=
r
×
(
ω
×
r
)
2
=
(
r
⋅
r
)
ω
−
(
ω
⋅
r
)
r
2
=
r
2
ω
2
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}={\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}{2}}={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-{\cancel {({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }}}{2}}={\frac {r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}{2}}}
dove
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
velocità angolare .
Sapendo che in coordinate polari si ha:
θ
=
arctan
y
x
,
r
2
=
x
2
+
y
2
;
θ
˙
=
ω
=
1
1
+
(
y
x
)
2
(
x
y
˙
−
x
˙
y
x
2
)
=
x
2
x
2
+
y
2
(
x
y
˙
−
x
˙
y
x
2
)
=
x
y
˙
−
x
˙
y
x
2
+
y
2
r
2
ω
=
x
y
˙
−
x
˙
y
(
x
2
+
y
2
)
(
x
2
+
y
2
)
=
x
y
˙
−
x
˙
y
{\displaystyle {\begin{aligned}&\theta =\arctan {\frac {y}{x}},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2};\\[4pt]&{\dot {\theta }}=\omega ={\frac {1}{1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}}}\right)={\frac {\cancel {x^{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {x^{2}}}}\right)={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}+y^{2}}}\\[4pt]&r^{2}\omega ={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}=x{\dot {y}}-{\dot {x}}y\\[4pt]\end{aligned}}}
mentre l'ellisse in coordinate polari è:
{
x
=
a
cos
θ
y
=
b
sin
θ
⟹
{
x
˙
=
−
a
ω
sin
θ
y
˙
=
b
ω
cos
θ
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=a\cos \theta \\&y=b\sin \theta \\\end{aligned}}\right.\implies \left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}=-a\omega \sin \theta \\&{\dot {y}}=b\omega \cos \theta \\\end{aligned}}\right.}
Pertanto si ottiene che il valore della velocità areolare è:
A
˙
=
r
2
ω
2
=
x
y
˙
−
x
˙
y
2
=
a
b
ω
2
(
cos
2
θ
+
sin
2
θ
)
=
a
b
ω
2
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\frac {r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}{2}}={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{2}}={\frac {ab{\boldsymbol {\omega }}}{2}}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )={\frac {ab{\boldsymbol {\omega }}}{2}}}
mentre il valore del momento angolare orbitale specifico
h
{\displaystyle \mathbf {h} }
h
=
2
A
˙
=
a
b
ω
{\displaystyle \mathbf {h} =2{\dot {\mathbf {A} }}=ab{\boldsymbol {\omega }}}
Essendo
h
{\displaystyle \mathbf {h} }
A
˙
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
spostamento angolare
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
spostamento areolare
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
θ
(
t
)
=
θ
0
+
h
a
b
t
A
(
t
)
=
A
0
+
h
2
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\theta }}(t)={\boldsymbol {\theta }}_{0}+{\frac {\mathbf {h} }{ab}}t\\[4pt]&\mathbf {A} (t)=\mathbf {A} _{0}+{\frac {\mathbf {h} }{2}}t\\[4pt]\end{aligned}}}
Le equazioni del moto in coordinate cartesiane sono:
r
=
{
x
=
a
cos
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
y
=
b
sin
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
⟹
v
=
{
x
˙
=
−
h
b
sin
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
y
˙
=
h
a
cos
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
⟹
a
=
{
x
¨
=
−
h
2
a
b
2
cos
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
y
¨
=
h
2
a
2
b
sin
(
h
a
b
t
+
θ
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\left\{{\begin{aligned}&x=a\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&y=b\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {v} =\left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}=-{\frac {h}{b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\dot {y}}={\frac {h}{a}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {a} =\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=-{\frac {h^{2}}{ab^{2}}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\ddot {y}}={\frac {h^{2}}{a^{2}b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.}
ciò significa che l'accelerazione coincide con l'accelerazione centripeta
a
c
{\displaystyle \mathbf {a} _{c}}
a
c
=
(
h
a
b
)
2
r
{\displaystyle \mathbf {a} _{c}=\left({\frac {h}{ab}}\right)^{2}\mathbf {r} }
È possibile osservare che nel caso di moto circolare , essendo
a
=
b
=
r
{\displaystyle a=b=r}
a
c
=
ω
2
r
{\displaystyle \mathbf {a} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {r} }
P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\theta =\arctan {\frac {y}{x}},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2};\\[4pt]&{\dot {\theta }}=\omega ={\frac {1}{1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}}}\right)={\frac {\cancel {x^{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {x^{2}}}}\right)={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}+y^{2}}}\\[4pt]&r^{2}\omega ={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}=x{\dot {y}}-{\dot {x}}y\\[4pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836d28453de46fe07b8689f5f0faeeb4681bd97d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\theta }}(t)={\boldsymbol {\theta }}_{0}+{\frac {\mathbf {h} }{ab}}t\\[4pt]&\mathbf {A} (t)=\mathbf {A} _{0}+{\frac {\mathbf {h} }{2}}t\\[4pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8468e9f76f2d8ae2572f4d1230390b3a4e7cd0)
![{\displaystyle \mathbf {r} =\left\{{\begin{aligned}&x=a\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&y=b\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {v} =\left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}=-{\frac {h}{b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\dot {y}}={\frac {h}{a}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {a} =\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=-{\frac {h^{2}}{ab^{2}}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\ddot {y}}={\frac {h^{2}}{a^{2}b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc7a4e1337f1a84dce07de4d44ab24a1f0799eb)
