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Una forza è detta centrale se è costantemente diretta verso il centro ed il modulo della forza è funzione del raggio-vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro. Se la forza è diretta dal punto verso il centro è detta attrattiva, altrimenti è detta repulsiva:

Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O e non dall'orientazione del raggio vettore che congiunge i due punti:

Esempi di forze centrali sono:

  • la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r2, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
  • la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r2; il segno delle cariche elettriche interagenti decide se è attrattiva o repulsiva;
  • la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Momento meccanicoModifica

In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

 

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

 

Per un punto materiale il momento angolare è definito come  ; siccome   è perpendicolare al piano in cui giace la traiettoria (individuato da   e  ) ed è costante, segue che l'intera orbita giace su un piano costante, ovvero che il moto avviene su un piano.

Inoltre ciò comporta che la velocità areolare è costante

ConservativitàModifica

Le forze centrali a simmetria sferica sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza   centrale e un qualsiasi percorso   di estremi A e B. Poiché per ipotesi:

 

dove   è il versore relativo al vettore posizione, si ha:

 

Siccome in coordinate polari il vettore spostamento elementare è  , abbiamo:

 

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate. L'energia potenziale è

 

con   posto arbitrariamente uguale a   per forze nulle all'infinito.

In quanto conservativi, per i campi a forze centrali vale la seguente relazione:  .

Preso il generico campo di forze centrali  , con  versore unitario di direzione radiale e  , si definisce  la funzione di energia potenziale. È noto che  .

Dunque, calcoliamo

 

Dal sistema segue che

 

Essendo  , si ha:

 

 

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

 

L'irrotazionalità del campo è necessaria per la sua conservatività ma non basta: la funzione deve essere definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlateModifica

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