In matematica un numero primo
p
{\displaystyle p}
è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se
(
2
p
−
1
p
−
1
)
≡
1
(
mod
p
4
)
{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}
Ovvero
(
2
p
p
)
≡
2
(
mod
p
4
)
{\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}}
Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS ). È stato verificato che non ne esistano altri minori di
10
9
{\displaystyle 10^{9}}
[1]
Il Coefficiente binomiale è definito come:
(
n
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
(
k
!
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}}
Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:
(
2
p
−
1
p
−
1
)
=
(
2
p
−
1
)
!
[
(
2
p
−
1
)
−
(
p
−
1
)
]
!
(
p
−
1
)
!
≡
1
{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1}
Semplificando si ottiene:
(
2
p
−
1
p
−
1
)
=
2
p
2
p
⋅
(
2
p
−
1
)
!
p
!
(
p
−
1
)
!
=
1
2
⋅
(
2
p
)
!
(
p
!
)
2
=
1
2
(
2
p
p
)
≡
1
{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1}
Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:
(
2
p
p
)
≡
2
{\displaystyle {\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,}
Collegamenti esterni
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