Omotetia nel piano complesso

Si presenta la generica omotetia nel piano complesso di centro $C_{0}(x_{0},y_{0})$ e rapporto $a$ , con $a$ numero reale diverso da zero e $C_{0}$ punto del piano complesso (si veda numeri complessi e punti del piano cartesiano).

Definizione

Sia $C_{0}=P(z_{0})$ il punto corrispondente al numero complesso $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ , e sia $a$ un numero reale diverso da $0$ e da $1$ . L'omotetia $\omega _{C_{0},a}$ di centro $C_{0}$ e rapporto $a$ , è la trasformazione che associa ad ogni punto $P=P(z)$ , corrispondente del numero complesso $z$ , il punto $P'=P'(z')$ , corrispondente del numero complesso $z'$ , tale che:

{\vec {C_{0}P'}}=a{\vec {C_{0}P}}.

Dal momento che

{\vec {C_{0}P}}=z-z_{0},\quad {\vec {C_{0}P'}}=z'-z_{0},

si ha che

z'-z_{0}=a\left(z-z_{0}\right).

Quindi, introducendo $b:=(1-a)z_{0}$ , la scrittura complessa dell'omotetia è:

{\begin{aligned}\omega _{C_{0},a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b=a\rho e^{i\theta }+b.\end{aligned}}

In modo particolare l'omotetia $\omega _{O,a}$ di centro l'origine degli assi $O$ e rapporto $a$ , è la trasformazione

{\begin{aligned}\omega _{O,a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right),\end{aligned}}

ove si è posto

z=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right).

Osserviamo inoltre come opera la trasformazione in base al segno del numero $a$ :

Quindi:

moltiplicare il numero complesso $z$ per un numero reale $a$ non nullo e diverso da $1$ equivale ad applicare al punto $P(z)$ l'omotetia di rapporto $a$ .