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In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos, "simile" e tìthemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine).

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Indice

DefinizioneModifica

 
Esempio grafico: omotetia di centro   e di rapporto  
 
Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro   è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da   di tutti i punti secondo un fattore  , lasciando invariate le rette passanti per   che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto   dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da   e passante per  , in modo che la sua distanza da   cambi secondo un fattore costante   positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto  .

Il punto   è il centro, mentre   è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

  • dilatazione, se  
  • contrazione, se  
  • se   si ottiene ovviamente l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a sé stesso.

L'omotetia è una particolare similitudine.

Coefficiente negativoModifica

Si può estendere la definizione al caso in cui   sia negativo: in tale ipotesi il punto   viene spostato nel punto della semiretta opposta alla semiretta   e avente come distanza da   quella di   moltiplicata per  . Notiamo quindi che un'omotetia di fattore   è la simmetria centrale di centro il punto   o la rotazione di centro   pari a un angolo piatto.

Mediante i vettori, l'omotetia di centro   e di rapporto   si definisce più correttamente come la trasformazione geometrica che porta ogni punto   nell'unico punto   soluzione dell'equazione vettoriale:

 

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che il corrispondente rapporto sia positivo o negativo. Però è sempre diretto.

ProprietàModifica

Una omotetia, oltre a moltiplicare tutte le distanze per  , moltiplica tutte le aree per  , tutti i volumi per  , etc.

Algebra lineareModifica

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro   dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore  , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a  .

Voci correlateModifica

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