Omotetia

In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos, "simile" e tìthemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine).

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro $A$ e di rapporto $\scriptstyle -{1 \over 2}.$

Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro $A$ è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da $A$ di tutti i punti secondo un fattore $c$, lasciando invariate le rette passanti per $A$ che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto $P$ dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da $A$ e passante per $P$, in modo che la sua distanza da $A$ cambi secondo un fattore costante $c$ positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto $A$.

Il punto $A$ è il centro, mentre $c$ è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

• dilatazione, se $|c|>1;$
• contrazione, se $0<|c|<1;$
• se $c=1$ si ottiene ovviamente l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a sé stesso.

L'omotetia è una particolare similitudine.

Coefficiente negativo

Si può estendere la definizione al caso in cui $c$ sia negativo: in tale ipotesi il punto $B$ viene spostato nel punto della semiretta opposta alla semiretta $AP$ e avente come distanza da $A$ quella di $P$ moltiplicata per $|c|$. Notiamo quindi che un'omotetia di fattore $-1$ è la simmetria centrale di centro il punto $A$ o la rotazione di centro $A$ pari a un angolo piatto.

Mediante i vettori, l'omotetia di centro $A$ e di rapporto $c\neq 0$ si definisce più correttamente come la trasformazione geometrica che porta ogni punto $P$ nell'unico punto $P'$ soluzione dell'equazione vettoriale:

${\overrightarrow {AP'}}=c\cdot {\overrightarrow {AP}}.$

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che il corrispondente rapporto sia positivo o negativo. Però è sempre diretto.

Proprietà

Una omotetia, oltre a moltiplicare tutte le distanze per $c$, moltiplica tutte le aree per $c^{2}$, tutti i volumi per $c^{3}$, etc.

Algebra lineare

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro $A$ dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore $c$, ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a $c$.

Voci correlate

• Similitudine (geometria)
• Isometria
• Rotazione (matematica)
• Traslazione (geometria)
• Riflessione (geometria)

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