In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci homós, "simile" e títhemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nelle similitudini, di cui è infatti un caso particolare.

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione modifica

 
Esempio grafico: omotetia di centro   e di rapporto  
 
Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro   e di rapporto   (numero reale diverso da zero) è una trasformazione dello spazio euclideo secondo cui un qualsiasi punto   dello spazio viene spostato, sulla semiretta   se   positivo o sulla semiretta   se   negativo, in modo che la sua distanza da   cambi secondo il fattore costante  .

Nell'esempio grafico a fianco   , quindi il punto   viene trasformato in   sulla semiretta   (ovvero la semiretta che origina in   e va verso  ) tale che  .

Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

  • dilatazione, se  
  • contrazione, se  
  • se   si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a sé stesso;
  • se   si ottiene la simmetria centrale di centro il punto   o la rotazione di centro   pari a un angolo piatto

L'omotetia è una particolare similitudine, ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro  , un generico punto   e il suo trasformato   sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.

Definizione tramite vettori modifica

Mediante i vettori, l'omotetia di centro   e di rapporto   si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto   nell'unico punto   soluzione dell'equazione vettoriale:

 

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che   sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.

Proprietà modifica

Una omotetia moltiplica tutte le distanze per  , di conseguenza tutte le aree per   (o  ) e tutti i volumi per  .

Se   (cioè se non è un'identità), allora l'unico punto unito è il punto   e le uniche rette unite sono quelli passanti per   (si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).

Algebra lineare modifica

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro   dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore  , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a  .

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