Orociclo

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In geometria iperbolica, un orociclo è una curva del piano iperbolico ortogonale a tutte le rette appartenenti ad un fascio.

Un orociclo blu nel Disco di Poincaré e alcune rette normali rosse. Le rette normali convergono asintoticamente allo stesso punto, ovvero quello in cui orociclo e circonferenza all'infinito si intersecano.

Definizione

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Un orociclo può essere definito, nel modello di piano iperbolico dato dal disco di Poincaré, come una qualsiasi circonferenza tangente al bordo del disco.

Proprietà

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Un orociclo interseca il bordo del disco di Poincaré (i "punti all'infinito" del piano iperbolico) in un punto  , detto centro. Due orocicli sono detti concentrici se intersecano il bordo del disco nello stesso punto  .

Fascio di rette

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Ogni retta del piano iperbolico che converge asintoticamente a   interseca l'orociclo ortogonalmente in un punto. Queste rette, dette raggi, formano un fascio. Valgono le proprietà seguenti:

  • Ciascun raggio è un asse di simmetria per l'orociclo.
  • Il rapporto tra due archi di oricicli concentrici tagliati dagli stessi raggi dipende solo dalla distanza dei due oricicli, secondo la relazione seguente:
 

dove   sono segmenti di raggi tagliati da oricicli concentrici, e   è una costante opportuna.

Orocicli

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Valgono le proprietà seguenti.

  • Dati due punti   e   dell'orociclo, esiste una isometria del piano che fissa l'orociclo come insieme ma trasla i punti, spostando   in  .
  • Dati due orocicli   e  , esiste una isometria del piano che sposta il primo nel secondo (gli orocicli sono tutti congruenti).

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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