Pentagramma miracoloso (dal latino Pentagramma mirificum ) è un poligono stellato su una sfera , composto da cinque grandi archi di cerchio , i cui angoli interni sono tutti angoli retti . Questa forma è stata descritta da Nepero nel 1614 nel libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della tabella Ammirabile di logaritmi) insieme alle regole che collegano i valori delle funzioni trigonometriche di cinque parti di un triangolo sferico rettangolo (due angoli e tre lati). Le proprietà del pentagramma miracoloso furono studiate, tra gli altri, da Carl Friedrich Gauss .[1]
Configurazioni di esempio di pentagramma mirificum Relazioni tra angoli e lati di cinque triangoli rettangoli adiacenti al pentagono interno. I loro cerchi di Napier contengono spostamenti circolari di parti ( a , {\displaystyle (a,} π / 2 − B , {\displaystyle \pi /2-B,} π / 2 − c , {\displaystyle \pi /2-c,} π / 2 − A , {\displaystyle \pi /2-A,} b ) {\displaystyle b)} Proprietà geometriche
modifica
Su una sfera, sia gli angoli che i lati di un triangolo (archi di grandi cerchi) sono misurati come angoli.
Ci sono cinque angoli retti, ciascuno di misura π / 2 , {\displaystyle \pi /2,} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} E . {\displaystyle E.}
Ci sono dieci archi, ciascuno di misura π / 2 : {\displaystyle \pi /2:} P C {\displaystyle PC} P E {\displaystyle PE} Q D {\displaystyle QD} Q A {\displaystyle QA} R E {\displaystyle RE} R B {\displaystyle RB} S A {\displaystyle SA} S C {\displaystyle SC} T B {\displaystyle TB} T D . {\displaystyle TD.}
Nel pentagono sferico P Q R S T {\displaystyle PQRST} P {\displaystyle P} R S {\displaystyle RS} Q {\displaystyle Q} S T {\displaystyle ST}
Ad ogni vertice del pentagono P Q R S T {\displaystyle PQRST} angolo esterno è uguale in misura al lato opposto. Per esempio, ∠ A P T = ∠ B P Q = R S , ∠ B Q P = ∠ C Q R = S T , {\displaystyle \angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle CQR=ST,}
I triangoli sferici di Nepero A P T {\displaystyle APT} B Q P {\displaystyle BQP} C R Q {\displaystyle CRQ} D S R {\displaystyle DSR} E T S {\displaystyle ETS} rotazioni l'una dell'altra.
Le formule di Gauss
modifica
Gauss ha introdotto la notazione
( α , β , γ , δ , ε ) = ( tan 2 T P , tan 2 P Q , tan 2 Q R , tan 2 R S , tan 2 S T ) . {\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).} Le seguenti identità valgono, consentendo la determinazione di tre qualsiasi delle quantità di cui sopra dalle due rimanenti:[2]
1 + α = γ δ 1 + β = δ ε 1 + γ = α ε 1 + δ = α β 1 + ε = β γ . {\displaystyle {\begin{aligned}1+\alpha &=\gamma \delta &1+\beta &=\delta \varepsilon &1+\gamma &=\alpha \varepsilon \\1+\delta &=\alpha \beta &1+\varepsilon &=\beta \gamma .\end{aligned}}} Gauss ha dimostrato la seguente "bella uguaglianza" (schöne Gleichung ):[2]
α β γ δ ε = 3 + α + β + γ + δ + ε = ( 1 + α ) ( 1 + β ) ( 1 + γ ) ( 1 + δ ) ( 1 + ε ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\;3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \\&=\;{\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.\end{aligned}}} L'equazione è soddisfatta, ad esempio, dai numeri ( α , β , γ , δ , ε ) = ( 9 , 2 / 3 , 2 , 5 , 1 / 3 ) {\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)} α β γ δ ε {\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon } 20 {\displaystyle 20}
Dimostrazione della prima parte dell'uguaglianza:
α β γ δ ε = α β γ ( 1 + α γ ) ( 1 + γ α ) = β ( 1 + α ) ( 1 + γ ) = β + α β + β γ + α β γ = β + ( 1 + δ ) + ( 1 + ε ) + α ( 1 + ε ) = 2 + α + β + δ + ε + 1 + γ = 3 + α + β + γ + δ + ε {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\&=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\varepsilon )+\alpha (1+\varepsilon )\\&=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma \\&=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \end{aligned}}} Prova della seconda parte dell'uguaglianza:
α β γ δ ε = α 2 β 2 γ 2 δ 2 ε 2 = γ δ ⋅ δ ε ⋅ ε α ⋅ α β ⋅ β γ = ( 1 + α ) ( 1 + β ) ( 1 + γ ) ( 1 + δ ) ( 1 + ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&={\sqrt {\gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }}\\&={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}\end{aligned}}} Gauss ha ottenuto anche la formula[2]
( 1 + i α ) ( 1 + i β ) ( 1 + i γ ) ( 1 + i δ ) ( 1 + i ε ) = α β γ δ ε e i A P Q R S T , {\displaystyle (1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iA_{PQRST}},} dove A P Q R S T = 2 π − ( | P Q ⌢ | + | Q R ⌢ | + | R S ⌢ | + | S T ⌢ | + | T P ⌢ | ) {\displaystyle A_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)} P Q R S T {\displaystyle PQRST}
Proiezione gnomonica
modifica
L'immagine del pentagono sferico P Q R S T {\displaystyle PQRST} proiezione gnomonica (una proiezione dal centro della sfera) su qualsiasi piano tangente alla sfera forma un pentagono rettilineo. I suoi cinque vertici P ′ Q ′ R ′ S ′ T ′ {\displaystyle P'Q'R'S'T'} determinano in modo univoco una sezione conica ; in questo caso - un'ellisse . Gauss ha mostrato che le altezze del pentagramma P ′ Q ′ R ′ S ′ T ′ {\displaystyle P'Q'R'S'T'} O ′ {\displaystyle O'}
Arthur Cayley ha osservato che, se impostiamo l'origine di un sistema di coordinate cartesiane nel punto O ′ {\displaystyle O'} P ′ Q ′ R ′ S ′ T ′ {\displaystyle P'Q'R'S'T'} ( x 1 , y 1 ) , … , {\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,} ( x 5 , y 5 ) {\displaystyle (x_{5},y_{5})} x 1 x 4 + y 1 y 4 = {\displaystyle x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=} x 2 x 5 + y 2 y 5 = {\displaystyle x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=} x 3 x 1 + y 3 y 1 = {\displaystyle x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=} x 4 x 2 + y 4 y 2 = {\displaystyle x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}=} x 5 x 3 + y 5 y 3 = − ρ 2 {\displaystyle x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\rho ^{2}} ρ {\displaystyle \rho } [3]
^ Carl Friedrich Gauss , Pentagramma mirificum Werke, Band III: Analysis , Göttingen, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, 1866, pp. 481–490. ^ a b c H. S. M. Coxeter , Frieze patterns PDF Acta Arithmetica , vol. 18, 1971, pp. 297–310, DOI :10.4064/aa-18-1-297-310 . ^ Arthur Cayley , On Gauss's pentagramma mirificum The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , vol. 42, n. 280, 1871, pp. 311–312, DOI :10.1080/14786447108640572 . Collegamenti esterni
modifica
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Pentagramma miracoloso
