Pentagramma miracoloso

Pentagramma miracoloso (dal latino Pentagramma mirificum) è un poligono stellato su una sfera, composto da cinque grandi archi di cerchio, i cui angoli interni sono tutti angoli retti. Questa forma è stata descritta da Nepero nel 1614 nel libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della tabella Ammirabile di logaritmi) insieme alle regole che collegano i valori delle funzioni trigonometriche di cinque parti di un triangolo sferico rettangolo (due angoli e tre lati). Le proprietà del pentagramma miracoloso furono studiate, tra gli altri, da Carl Friedrich Gauss.[1]

Configurazioni di esempio di pentagramma mirificum
Relazioni tra angoli e lati di cinque triangoli rettangoli adiacenti al pentagono interno. I loro cerchi di Napier contengono spostamenti circolari di parti

Proprietà geometricheModifica

Su una sfera, sia gli angoli che i lati di un triangolo (archi di grandi cerchi) sono misurati come angoli.

Ci sono cinque angoli retti, ciascuno di misura   a  ,  ,  ,  , e  

Ci sono dieci archi, ciascuno di misura   ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , e  

Nel pentagono sferico  , ogni vertice è il polo del lato opposto. Ad esempio, punto   è il polo dell'equatore  , punto   - il polo dell'equatore  , eccetera.

Ad ogni vertice del pentagono  , l'angolo esterno è uguale in misura al lato opposto. Per esempio,   eccetera.

I triangoli sferici di Nepero  ,  ,  ,  , e   sono rotazioni l'una dell'altra.

Le formule di GaussModifica

Gauss ha introdotto la notazione

 

Le seguenti identità valgono, consentendo la determinazione di tre qualsiasi delle quantità di cui sopra dalle due rimanenti:[2]

 

Gauss ha dimostrato la seguente "bella uguaglianza" (schöne Gleichung):[2]

 

L'equazione è soddisfatta, ad esempio, dai numeri  , il cui prodotto   è uguale a  .

Dimostrazione della prima parte dell'uguaglianza:

 

Prova della seconda parte dell'uguaglianza:

 

Gauss ha ottenuto anche la formula[2]

 

dove   è l'area del pentagono  .

Proiezione gnomonicaModifica

L'immagine del pentagono sferico   nella proiezione gnomonica (una proiezione dal centro della sfera) su qualsiasi piano tangente alla sfera forma un pentagono rettilineo. I suoi cinque vertici   determinano in modo univoco una sezione conica; in questo caso - un'ellisse. Gauss ha mostrato che le altezze del pentagramma   (linee che passano per i vertici e perpendicolari ai lati opposti) si incrociano in un punto  , che è l'immagine del punto di tangenza del piano alla sfera.

Arthur Cayley ha osservato che, se impostiamo l'origine di un sistema di coordinate cartesiane nel punto  , ed indicando quindi le coordinate dei vertici  :    soddisfano le uguaglianze      , dove   è la lunghezza del raggio della sfera.[3]

NoteModifica

  1. ^ Carl Friedrich Gauss, Pentagramma mirificum, in Werke, Band III: Analysis, Göttingen, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, 1866, pp. 481–490.
  2. ^ a b c H. S. M. Coxeter, Frieze patterns (PDF), in Acta Arithmetica, vol. 18, 1971, pp. 297–310, DOI:10.4064/aa-18-1-297-310.
  3. ^ Arthur Cayley, On Gauss's pentagramma mirificum, in The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 42, n. 280, 1871, pp. 311–312, DOI:10.1080/14786447108640572.

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