Problema di Wahba

Il problema di Wahba, originariamente formulato da Grace Wahba nel 1965,^[1] consiste nel determinare una matrice di rotazione (ovvero una matrice del gruppo ortogonale speciale) che meglio approssima la trasformazione fra due sistemi di coordinate a partire da due insiemi di osservazioni vettoriali. Un tipico esempio di applicazione consiste nel determinare l'assetto di un velivolo o satellite artificiale a partire da osservazioni ottenute da diversi sensori (che possono includere GNSS, giroscopio, magnetometro, accelerometro, etc.).

Tra le soluzioni al problema, vi sono il metodo q di Davenport, l'algoritmo QUEST, e diversi metodi basati sulla decomposizione ai valori singolari (SVD).^[2]

Il problema di Wahba è correlato al problema di Procuste ortogonale, con la differenza che quest'ultimo ammette come soluzioni matrici ortogonali che non rappresentano necessariamente rotazioni.^[3]

Formulazione

La funzione costo ottimizzata nel problema di Wahba con $N\geq 2$ osservazioni è

J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}

dove $\mathbf {w} _{k}$ è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate di riferimento, $\mathbf {v} _{k}$ è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate solidali, $\mathbf {R}$ è una matrice di rotazione tra i due sistemi di coordinate,^[4] e $a_{k}$ è un insieme di pesi.

Soluzione tramite decomposizione ai valori singolari

È possibile risolvere il problema di Wahba tramite decomposizione ai valori singolari. Tale metodo è tuttavia usato meno comunemente rispetto ad altre soluzioni per via del suo costo computazionale. Definendo una matrice $\mathbf {B}$ come

\mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}

è possibile fattorizzare $B$ nella sua decomposizione ai valori singolari

\mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}

.

La soluzione al problema di Wahba si ottiene come

\mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}

dove

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}}

.^[5]

Note

^ Wahba (1965)
^ Markley e Mortari (2000)
^ Markley e Mortari (2000), p. 2
^ Nella formulazione originale, la matrice di rotazione $\mathbf {R}$ trasforma dal sistema di coordinate solidali al sistema di coordinate di riferimento; in molti contesti, la trasformazione è definita in direzione opposta.
^ Markley e Mortari (2000), p. 3

Bibliografia

G. Wahba, A Least Squares Estimate of Satellite Attitude, in SIAM Review, vol. 3, n. 7, 1965, p. 409.
M. D. Shuster e S. D. Oh, Three-Axis Attitude Determination from Vector Observations (PDF), in Journal of Guidance and Control, vol. 1, n. 4, 1981, pp. 70–77. URL consultato il 12 febbraio 2022 (archiviato dall'url originale il 21 novembre 2018).
F. L. Markley, Attitude Determination using Vector Observations and the Singular Value Decomposition (PDF), in Journal of the Astronautical Sciences, n. 38, 1988, pp. 245–258.
F. L. Markley e D. Mortari, Quaternion Attitude Estimation Using Vector Observations (PDF), in Journal of the Astronautical Sciences, vol. 2, n. 48, 2000, pp. 359–380. URL consultato il 12 febbraio 2022 (archiviato dall'url originale il 1º dicembre 2017).
F. L. Markley e J. L. Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, Springer, 2014.
B. Libbus, G. Simons e Y. Yao, Rotating Multiple Sets of Labeled Points to Bring Them Into Close Coincidence: A Generalized Wahba Problem, in The American Mathematical Monthly, vol. 2, n. 124, 2017, pp. 149–160.
M. Lourakis e G. Terzakis, Efficient Absolute Orientation Revisited, IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2018, pp. 5813-5818.

Voci correlate

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[1] Wahba (1965)

[2] Markley e Mortari (2000)

[3] Markley e Mortari (2000), p. 2

[4] Nella formulazione originale, la matrice di rotazione $\mathbf {R}$ trasforma dal sistema di coordinate solidali al sistema di coordinate di riferimento; in molti contesti, la trasformazione è definita in direzione opposta.

[5] Markley e Mortari (2000), p. 3

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