Quadratura di Gauss

In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma conoscendo valori della funzione nell'intervallo .

Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi.
Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio , il cui integrale in è La regola del trapezio ritorna l'integrale della linea a tratto arancio, pari a . La regola di quadratura di Gauss a 2 punti ritorna l'integrale della linea a tratto nera, pari a . Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle regioni rosse.

TeoremaModifica

Dati   punti nodali   in un intervallo  , e una funzione  , il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura   è uguale a   se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale   in   rispetto ad una funzione peso  .

DimostrazioneModifica

Per ipotesi si scelga una  ,spazio dei polinomi di grado  ,la scelta della   infatti non influenza la successione di valori  .

Vale allora che  

perché essendo univocamente determinati i pesi  ,la formula di quadratura deve essere di precisione almeno  . Si consideri il polinomio  ,un polinomio di grado  ,tale che   per ogni   e che  ,dove   è un polinomio ortogonale di grado   avente gli   zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere

 

ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo   polinomio ortogonale. Ne segue che

 

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi   sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado  .

Calcolo dei pesiModifica

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione   è costruito come

 

o generalmente

 

dove   è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice  . Si ha che   può anche essere espresso come

 

Se si intende con   la funzione così definita:

 

Il polinomio ortogonale ha   zeri, quindi

 

dunque

   

Pertanto il generico peso   è calcolabile come

   

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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