Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:
a
+
b
,
{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}},}
oppure
a
−
b
.
{\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}.}
I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi
Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
a
+
b
=
x
+
y
.
{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
a
+
b
=
x
+
y
+
4
x
y
.
{\displaystyle a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}.}
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
{
x
+
y
=
a
4
x
y
=
b
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.}
cioè:
{
x
+
y
=
a
x
y
=
b
4
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\dfrac {b}{4}}\end{matrix}}\right.}
Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica
t
2
−
a
t
+
b
4
=
0.
{\displaystyle t^{2}-at+{\dfrac {b}{4}}=0.}
Risolvendo quest'equazione si ottiene
t
=
a
±
a
2
−
b
2
,
{\displaystyle t={\dfrac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}},}
e quindi:
x
=
a
+
a
2
−
b
2
,
y
=
a
−
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle x={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}.}
Si ottiene così l'identità cercata:
a
+
b
=
a
+
a
2
−
b
2
+
a
−
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}
Analogamente si può ottenere:
a
−
b
=
a
+
a
2
−
b
2
−
a
−
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
2
−
b
{\displaystyle a^{2}-b}
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se
a
2
−
b
{\displaystyle a^{2}-b}
quadrato perfetto . Ad esempio:
3
−
5
=
3
+
3
2
−
5
2
−
3
−
3
2
−
5
2
,
{\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}},}
e, semplificando e razionalizzando , si ottiene:
3
−
5
=
10
−
2
2
.
{\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}
Invece il radicale doppio
3
+
2
{\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}}
3
2
−
2
=
7
{\displaystyle 3^{2}-2=7}
Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che
5
,
5
2
−
10
=
4
,
5
2
{\displaystyle 5,5^{2}-10=4,5^{2}}
5
,
5
2
−
4
,
5
2
=
(
5
,
5
+
4
,
5
)
(
5
,
5
−
4
,
5
)
=
10
{\displaystyle 5,5^{2}-4,5^{2}=(5,5+4,5)(5,5-4,5)=10}
5
,
5
−
2
5
=
11
2
−
10
=
11
−
2
10
2
=
10
−
2
10
+
1
2
=
(
10
−
1
)
2
2
=
2
5
−
1
2
=
5
−
2
2
=
20
−
2
2
.
{\displaystyle {\sqrt {5,5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\dfrac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\dfrac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\dfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}
Ramanujan scoprì che
x
+
n
+
a
=
a
x
+
(
n
+
a
)
2
+
x
a
(
x
+
n
)
+
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
n
)
⋯
{\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}
ad esempio
1
+
2
1
+
3
1
+
⋯
.
{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}
ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.[1]
Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:
5
+
2
6
=
2
+
3
+
2
2
⋅
3
=
(
2
+
3
)
2
=
2
+
3
.
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2+3+2{\sqrt {2\cdot 3}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}.}
La formula può essere usata per dimostrare che
cos
π
12
=
6
+
2
4
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}
Ecco come si procede:
cos
π
12
=
cos
(
1
2
⋅
π
6
)
=
1
+
cos
π
6
2
=
2
+
3
2
,
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{6}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {\pi }{6}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}},}
adesso applicando la formula:
2
+
3
2
=
2
+
4
−
3
2
+
2
−
4
−
3
2
2
=
3
2
+
1
2
2
=
6
+
2
4
,
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {4-3}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {2-{\sqrt {4-3}}}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}
equivalente a
2
+
3
2
=
4
+
2
3
2
2
=
4
+
2
3
2
2
=
3
+
2
3
+
1
2
2
=
(
3
+
1
)
2
2
2
=
3
+
1
2
2
=
6
+
2
4
.
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {\sqrt {\frac {4+2{\sqrt {3}}}{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {3}}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}+1}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {3}}+1)^{2}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}
Esempio di radicale cubico doppio
modifica
5
−
2
3
=
8
5
−
16
8
3
=
5
5
−
15
+
3
5
−
1
8
3
=
(
5
−
1
)
3
8
3
=
5
−
1
2
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt {5}}-2}}={\sqrt[{3}]{\frac {8{\sqrt {5}}-16}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {5{\sqrt {5}}-15+3{\sqrt {5}}-1}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {({\sqrt {5}}-1)^{3}}{8}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}
Collegamenti esterni
modifica
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt {5}}-2}}={\sqrt[{3}]{\frac {8{\sqrt {5}}-16}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {5{\sqrt {5}}-15+3{\sqrt {5}}-1}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {({\sqrt {5}}-1)^{3}}{8}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986e2488f607b2705a7a329e643506f869479bec)
