Il simbolo di Jacobi è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri. Esso prende il nome dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi.

DefinizioneModifica

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che utilizza la scomposizione in fattori primi dell'argomento inferiore. È definito come segue:

Sia n > 2 un numero naturale dispari e n =  . Per ogni intero a, il simbolo di Jacobi è   dove   con p primo è il simbolo di Legendre. Si conviene inoltre di porre  

Proprietà del simbolo di JacobiModifica

Il simbolo di Jacobi possiede alcune utili proprietà che consentono di velocizzare i calcoli rispetto all'uso diretto della definizione. Tra di esse si ricordano (si assuma che a e b siano interi e che m ed n siano interi positivi dispari):

  1. Se n è primo, il simbolo di Jacobi è evidentemente uguale al simbolo di Legendre.
  2.  
  3.   se  
  4.  
  5.  
  6. Se ab (mod n), allora  
  7.  
  8.   se  
  9.   = 1 se n ≡ 1 (mod 4) e −1 se n ≡ 3 (mod 4)
  10.   = 1 se n ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se n ≡ 3 o 5 (mod 8)
  11.  

L'ultima proprietà è molto simile alla legge di reciprocità quadratica per il simbolo di Legendre.

Residui quadraticiModifica

Se  , allora a non è un residuo quadratico di n perché non è un residuo quadratico di qualche fattore di n. Inoltre, se  , allora  . Tuttavia, se   non si può dedurre che a sia un residuo quadratico di n perché è possibile che un numero pari di fattori di n siano non-residui, e quindi il prodotto dei loro simboli di Legendre valga ugualmente 1.

BibliografiaModifica

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Capitolo 9.7)
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