Sistema simmetrico

Un sistema di due equazioni con due incognite si dice simmetrico quando, scambiando tra loro le incognite (cioè sostituendo la alla e la alla ), le equazioni del sistema non mutano.

Tipi di sistemi simmetriciModifica

Sono simmetrici i seguenti sistemi:

 

Osserviamo che in ogni equazione, ridotta a forma normale, d'un sistema simmetrico accade sempre che se essa contiene, ad esempio, il termine   deve contenere anche il termine  ; se contiene il termine   deve contenere anche il termine   e così via. È evidente poi che se   è una soluzione di un sistema simmetrico, anche   è soluzione del sistema.

Il più semplice sistema simmetrico, detto elementare o fondamentale, è della forma:

 

essendo   e   due numeri reali.

Esistono anche sistemi di grado superiore e possono essere ricondotti a questi

 
 
 

con   appartenente ai numeri reali

Metodi di risoluzioneModifica

Per risolvere il sistema elementare introduciamo la variabile ausiliaria   e scriviamo l'equazione  . Le due soluzioni   e   sono le soluzioni del sistema. Possiamo utilizzare piccoli accorgimenti attraverso le Formule di Waring per rendere gli altri sistemi uguali a quello elementare.

 

Sapendo che  , calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

 

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

 

Sapendo che  , calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:

 

In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.

 

Sapendo che   otteniamo il sistema

 

Se   non ci sono soluzioni reali.

Se   esiste le radice reale. Le soluzioni saranno date dall'unione di due sistemi elementari:

 

e

 

BibliografiaModifica

  • Bertocchi, Corazzon, Matematica vol. 2, Alpha test, ISBN 8848300383.
  • Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale di algebra vol. 2 Terza edizione,Zanichelli, ISBN 9788808110534.

Voci correlateModifica

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