Sostituzioni di Eulero

Le sostituzioni di Eulero sono un metodo per calcolare gli integrali della forma

dove è una funzione razionale di e . In tali casi, la funzione integranda può essere trasformata in una funzione razionale mediante le sostituzioni di Eulero.[1]

Prima sostituzione di Eulero modifica

La prima sostituzione di Eulero viene utilizzata quando  . Si pone

 

e si risolve l'espressione risultante per  . Risulta   e dunque il differenziale   è esprimibile come funzione razionale di  .

In questa sostituzione è possibile scegliere sia il valore positivo sia quello negativo per la radice.

Seconda sostituzione di Eulero modifica

Se  , poniamo

 

Risolvendo per   come sopra si trova  

Anche qui è possibile scegliere entrambi i valori per la radice.

Terza sostituzione di Eulero modifica

Se il polinomio   ha radici reali   e  , si pone  . Da qui si ottiene   e anche in questo caso è possibile esprimere l'integranda come funzione razionale di  .

Esempi di utilizzo modifica

Prima sostituzione di Eulero modifica

Nell'integrale   possiamo usare la prima sostituzione e porre  , da cui

 
 

Di conseguenza, otteniamo:

 

I casi   corrispondono ai noti risultati:

 

Un altro esempio: per trovare il valore di

 

usando la prima sostituzione di Eulero poniamo  . Elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione si ottiene  , per cui si annullano i termini in  . Risolvendo rispetto a   si ottiene

 

Da qui troviamo la relazione tra i differenziali   e  :

 

Di conseguenza,

 

Seconda sostituzione di Eulero modifica

Nell'integrale

 

possiamo usare la seconda sostituzione e porre . Segue

 

e

 

Di conseguenza, otteniamo:

 

Terza sostituzione di Eulero modifica

Per calcolare

 

possiamo usare la terza sostituzione e porre . Ne segue

 

e

 

Di conseguenza,

 

L'ultimo termine è l'integrale di una funzione razionale, che può essere calcolato coi metodi usuali per la risoluzione di integrali di funzioni razionali.

Generalizzazioni modifica

Le sostituzioni di Eulero possono essere generalizzate facendo uso dei numeri immaginari. Ad esempio, nell'integrale  , può essere utilizzata la sostituzione  . Le estensioni ai numeri complessi consentono di utilizzare ogni tipo di sostituzione di Eulero indipendentemente dal segno dei coefficienti del polinomio sotto radice.

Le sostituzioni di Eulero possono inoltre essere generalizzate agli integrali della forma:

 

dove   e   sono funzioni razionali di   e  . Questo integrale può essere trasformato dalla sostituzione   in un altro integrale

 

dove   e   sono funzioni razionali della sola variabile   . In linea di principio, fattorizzazione e decomposizione in fratti semplici possono essere impiegate per scomporre l'integrale in termini semplici: questi ultimi possono essere integrati analiticamente mediante l'uso della funzione dilogaritmo.[2]

Note modifica

  1. ^ V. Smirnov, Corso di Matematica Superiore vol. I, pp. 479-480, Editori Riuniti University Press (2011).
  2. ^ Daniel Zwillinger, The Handbook of Integration, 1992, Jones and Bartlett, pp. 145–146, ISBN 978-0867202939.

Voci correlate modifica