Prima sostituzione di Eulero
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Seconda sostituzione di Eulero
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Se c > 0 {\displaystyle c>0} , poniamo
a x 2 + b x + c = x t ± c . {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.} Risolvendo per x {\displaystyle x} come sopra si trova x = ± 2 t c − b a − t 2 . {\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}
Anche qui è possibile scegliere entrambi i valori per la radice.
Terza sostituzione di Eulero
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Esempi di utilizzo
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Prima sostituzione di Eulero
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Nell'integrale ∫ d x x 2 + c {\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}} possiamo usare la prima sostituzione e porre x 2 + c = − x + t {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t} , da cui
x = t 2 − c 2 t , d x = t 2 + c 2 t 2 d t , {\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt,}
x 2 + c = − t 2 − c 2 t + t = t 2 + c 2 t . {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}.} Di conseguenza, otteniamo:
∫ d x x 2 + c = ∫ t 2 + c 2 t 2 t 2 + c 2 t d t = ∫ d t t = ln | t | + C = ln | x + x 2 + c | + C . {\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C.} I casi c = ± 1 {\displaystyle c=\pm 1} corrispondono ai noti risultati:
∫ d x x 2 + 1 = a r s i n h ( x ) + C ∫ d x x 2 − 1 = a r c o s h ( x ) + C , per x > 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\mathrm {arsinh} (x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\mathrm {arcosh} (x)+C,\qquad {\text{per }}x>1.\end{aligned}}} Un altro esempio: per trovare il valore di
∫ 1 x x 2 + 4 x − 4 d x , {\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,} usando la prima sostituzione di Eulero poniamo x 2 + 4 x − 4 = 1 x + t = x + t {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t} . Elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione si ottiene x 2 + 4 x − 4 = x 2 + 2 x t + t 2 {\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}} , per cui si annullano i termini in x 2 {\displaystyle x^{2}} . Risolvendo rispetto a x {\displaystyle x} si ottiene
x = t 2 + 4 4 − 2 t . {\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.} Da qui troviamo la relazione tra i differenziali d x {\displaystyle dx} e d t {\displaystyle dt} :
d x = − 2 t 2 + 8 t + 8 ( 4 − 2 t ) 2 d t . {\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.} Di conseguenza,
∫ d x x x 2 + 4 x − 4 = ∫ − 2 t 2 + 8 t + 8 ( 4 − 2 t ) 2 ( t 2 + 4 4 − 2 t ) ( − t 2 + 4 t + 4 4 − 2 t ) d t = 2 ∫ d t t 2 + 4 = arctan ( t 2 ) + C ( t = x 2 + 4 x − 4 − x ) = arctan ( x 2 + 4 x − 4 − x 2 ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\arctan \left({\frac {t}{2}}\right)+C&&(t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x)\\[6pt]&=\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.\end{aligned}}} Seconda sostituzione di Eulero
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Nell'integrale
∫ d x x − x 2 + x + 2 , {\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},} possiamo usare la seconda sostituzione e porre− x 2 + x + 2 = x t + 2 {\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}} . Segue
x = 1 − 2 2 t t 2 + 1 , d x = 2 2 t 2 − 2 t − 2 2 ( t 2 + 1 ) 2 d t {\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}},\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt} e
− x 2 + x + 2 = 1 − 2 2 t t 2 + 1 t + 2 = − 2 t 2 + t + 2 t 2 + 1 . {\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}.} Di conseguenza, otteniamo:
∫ d x x − x 2 + x + 2 = ∫ 2 2 t 2 − 2 t − 2 2 ( t 2 + 1 ) 2 1 − 2 2 t t 2 + 1 − 2 t 2 + t + 2 t 2 + 1 d t = ∫ − 2 − 2 2 t + 1 d t = 1 2 ∫ − 2 2 − 2 2 t + 1 d t = 1 2 ln | 2 2 t − 1 | + C = 2 2 ln | 2 2 − x 2 + x + 2 − 2 x − 1 | + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C.\end{aligned}}} Terza sostituzione di Eulero
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Per calcolare
∫ x 2 − x 2 + 3 x − 2 d x , {\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,} possiamo usare la terza sostituzione e porre− ( x − 2 ) ( x − 1 ) = ( x − 2 ) t {\displaystyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t} . Ne segue
x = − 2 t 2 − 1 − t 2 − 1 , d x = 2 t ( − t 2 − 1 ) 2 d t {\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\qquad dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt} e
− x 2 + 3 x − 2 = ( x − 2 ) t = t − t 2 − 1 . {\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1}}.} Di conseguenza,
∫ x 2 − x 2 + 3 x − 2 d x = ∫ ( − 2 t 2 − 1 − t 2 − 1 ) 2 2 t ( − t 2 − 1 ) 2 t − t 2 − 1 d t = ∫ 2 ( − 2 t 2 − 1 ) 2 ( ( − t 2 − 1 ) 2 ) 3 d t . {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{((-t^{2}-1)^{2})^{3}}}\ dt.} L'ultimo termine è l'integrale di una funzione razionale, che può essere calcolato coi metodi usuali per la risoluzione di integrali di funzioni razionali .
Generalizzazioni
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Le sostituzioni di Eulero possono essere generalizzate facendo uso dei numeri immaginari. Ad esempio, nell'integrale ∫ d x − x 2 + c {\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}} , può essere utilizzata la sostituzione x 2 + c = ± i x + t {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=\pm ix+t} . Le estensioni ai numeri complessi consentono di utilizzare ogni tipo di sostituzione di Eulero indipendentemente dal segno dei coefficienti del polinomio sotto radice.
Le sostituzioni di Eulero possono inoltre essere generalizzate agli integrali della forma:
∫ R 1 ( x , a x 2 + b x + c ) log ( R 2 ( x , a x 2 + b x + c ) ) d x , {\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,} dove R 1 {\displaystyle R_{1}} e R 2 {\displaystyle R_{2}} sono funzioni razionali di x {\displaystyle x} e a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} . Questo integrale può essere trasformato dalla sostituzione a x 2 + b x + c = a + x t {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt} in un altro integrale
∫ R ~ 1 ( t ) log ( R ~ 2 ( t ) ) d t , {\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,} dove R ~ 1 ( t ) {\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)} e R ~ 2 ( t ) {\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)} sono funzioni razionali della sola variabile t {\displaystyle t} . In linea di principio, fattorizzazione e decomposizione in fratti semplici possono essere impiegate per scomporre l'integrale in termini semplici: questi ultimi possono essere integrati analiticamente mediante l'uso della funzione dilogaritmo.[2]
^ V. Smirnov, Corso di Matematica Superiore vol. I , pp. 479-480, Editori Riuniti University Press (2011).
^ Daniel Zwillinger, The Handbook of Integration , 1992, Jones and Bartlett, pp. 145–146, ISBN 978-0867202939 .