Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazione comporta e quindi la conseguenza formale . Questa è tuttavia da ritenersi una mera tecnica mnemonica e non costituisce una regola rigorosa; infatti, se nell'applicare la formula nel calcolo di integrali definiti si dimentica il modulo si può incorrere in errori. Un esempio di ciò può essere l'applicazione della sostituzione al seguente integrale,
dove si è usato che .
Se nell'applicare la formula si dimentica di inserire il modulo, risulta:
dove però manca il contributo dato dal segno di . Se ne deduce quindi che la sostituzione senza modulo può portare a computazioni errate.
La formula è usata per trasformare l'integrale di una funzione nell'integrale di un'altra nella prospettiva che questo nuovo sia più facile da determinare. La formula può essere utilizzata al fine di semplificare un integrale dato, sia "da sinistra verso destra" che "da destra verso sinistra".
La regola di sostituzione può essere usata anche per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglie una relazione tra e , che determina il contributo da inserire nell'integrale per rendere corretto il cambio di variabile secondo la regola
Non essendoci estremi di integrazione il modulo applicato a non entra in gioco. Se si riesce a determinare il nuovo integrale indefinito, occorre successivamente effettuare la sostituzione opposta.
Si può anche usare la sostituzione quando si integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione sostituzione deve essere iniettiva e differenziabile con continuità, e i differenziali si trasformano secondo la formula
Più precisamente, la formula del cambiamento di variabili è precisata nel seguente enunciato.
Teorema
Siano insiemi aperti in e una funzione differenziabile biiettiva con derivate parziali continue. Allora per ogni funzione con valori reali su integrabile si ha
Qui viene usata la regola di sostituzione "da destra a sinistra". Si noti come il limite inferiore viene trasformato in e il limite superiore in
Calcolando invece l'integrale indefinito:
Si noti che nell'ultimo passo è stata invertita la sostituzione originale
Per calcolare l'integrale:
occorre usare la formula da sinistra a destra: serve la sostituzione , ,
in quanto ; l'ultima eguaglianza vale poiché è positivo nell'intervallo considerato.
L'integrale risultante può essere calcolato effettuando una integrazione per parti, oppure più semplicemente operando una semplice sostituzione (una traslazione dell'asse ) e usando la parità della funzione: