Reticolo reciproco

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In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di Bravais è un insieme di vettori che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda piana il cui vettore d'onda sia ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

DefinizioneModifica

Consideriamo un set di punti   che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana definita da  . Tale onda piana per alcuni valori di   ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda   che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

 

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi   segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

 

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

 

dove   sono numeri interi e   sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una  .

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi  , (che non sono univoci) esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

 
 
 

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

Esempi di reticoli reciprociModifica

Cubico sempliceModifica

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto

 

Allora essendo:

 

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

 

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare  .

Reticolo cubico a corpo centratoModifica

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

 
 
 

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

 
 
 

Reticolo cubico a facce centrateModifica

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:

 
 
 

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

 
 
 

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare  .

BibliografiaModifica

  • Neil W. Ashcroft e N. David Mermin, Solid State Physics, Holt-Saunders Japan, 1976, ISBN 0-03-049346-3.

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