Mappa esponenziale: differenze tra le versioni
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Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo <math> {\rm exp}(0) = p</math>. I vettori su cui <math>{\rm exp}</math> è definita formano un aperto <math>U</math> contenente l'origine.
== Proprietà ==
=== Geodetiche ===
La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.
=== Completezza ===
Il [[teorema di Hopf-Rinow]] fornisce varie nozioni equivalenti di [[spazio completo|completezza]] per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se <math>M</math> è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente
:<math>{\rm exp}:T_x\to M </math>
per ogni punto <math>x</math> di <math>M</math>.
=== Invertibilità locale ===
La mappa esponenziale è [[funzione continua|continua]] e [[funzione differenziabile|differenziabile]], con differenziale [[funzione invertibile|invertibile]] nell'origine. Per il [[teorema di invertibilità locale]], esiste un intorno <math>V</math> dell'origine in <math>T_x</math> tale che
:<math>f|V:V\to f(V) </math>
è un [[diffeomorfismo]]. La mappa esponenziale è cioè un [[diffeomorfismo locale]] nell'origine, ed è quindi utile a modellizzare la varietà <math>M</math> localmente vicino a <math>x</math>.
=== Raggio di iniettività ===
Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però generalmente [[funzione iniettiva|iniettiva]]: il massimo numero <math>R</math> tale che la mappa
:<math>f|_{B_R}:B_R\to M</math>
ristretta alla [[palla (matematica)|palla]] di raggio <math>R</math> centrata in zero è iniettiva è detto '''raggio di iniettività''' di <math>M</math> in <math>x</math>.
== Esempi ==
=== Varietà non completa ===
Se
:<math>M=\R^n\setminus\{0\} </math>
è lo [[spazio euclideo]] privato dell'origine, e <math>x</math> è un qualsiasi punto di <math>M</math>, la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente <math>T_x</math>. Infatti non risulta definita sul vettore <math>-x</math>, poiché la geodetica uscente da <math>x</math> in direzione <math>-x</math> è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto <math>U</math> è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.
== Bibliografia ==
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