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La mappa esponenziale associa ad ogni vettore dello spazio tangente l'unica geodetica passante per il punto e tangente a .

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana  . La mappa esponenziale è una mappa

 

definita su un insieme aperto   dello spazio tangente   in   contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore   non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

 

tale che   e  . La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri   e   sono positivi o  . Se  , si definisce  .

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo  . I vettori su cui   è definita formano un aperto   contenente l'origine.

ProprietàModifica

GeodeticheModifica

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

CompletezzaModifica

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se   è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

 

per ogni punto   di  .

Invertibilità localeModifica

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno   dell'origine in   tale che

 

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà   localmente vicino a  .

Raggio di iniettivitàModifica

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana   in   è il massimo numero   tale che la mappa

 

ristretta alla palla di raggio   centrata in zero è iniettiva. La palla è

 

ove la norma   di   è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

EsempiModifica

Varietà non completaModifica

Se

 

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e   è un qualsiasi punto di  , la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente  . Infatti non risulta definita sul vettore  , poiché la geodetica uscente da   in direzione   è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto   è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

Coordinate geodeticheModifica

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto   sono definite tramite la mappa esponenziale.

DefinizioneModifica

Sia   un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana  . Lo spazio tangente   è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo  : per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia   un intorno dell'origine nello spazio tangente   su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di  . Conseguentemente, l'immagine   è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

ProprietàModifica

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di   con un intorno aperto dello spazio euclideo  . Valgono le proprietà seguenti.

GeodeticheModifica

Il punto   è identificato con l'origine. Le geodetiche uscenti da   sono identificate con le rette uscenti dall'origine.

Tensore metricoModifica

Il tensore metrico   in   è rappresentato dalla matrice identità. Questo avviene però generalmente solo in  : se avviene in tutto l'intorno, la metrica in questo intorno è piatta, cioè senza curvatura.

Più precisamente, il tensore metrico è approssimato dalla metrica Euclidea al primo ordine:

 

In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:

 

Simboli di Christoffel e derivata covarianteModifica

I simboli di Christoffel si annullano in  :

 

La derivata covariante nel punto   quindi coincide con la derivata parziale.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlateModifica

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