Teorema delle funzioni implicite: differenze tra le versioni

in un intorno di un punto <math>(a,b)</math> tale che (esplicitando rispetto alla variabile y):<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 225|rudin}}.</ref>

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti <math>U \subset \R^{n+m}</math> e <math>V \subset \R^m</math> contenenti rispettivamente <math>(\mathbf{a},\mathbf{b})</math> e <math>\mathbf{b}</math> tali che per ogni <math>\mathbf{y} \in V</math> esiste un unico <math>\mathbf{x}</math> che soddisfa <math>(\mathbf{x},\mathbf{y}) \in U</math> e <math>\mathbf f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 0</math>. Inoltre, la funzione <math>\mathbf g : V \to \R^n</math> tale che <math>\mathbf g(\mathbf{y}) = \mathbf{x}</math> è una funzione di classe <math>\mathcal{C}^1</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 226|rudin}}.</ref>

può essere risolto esplicitando <math>(x_1 , x_2 , \cdots , x_n )</math> in funzione di <math>(y_1 , y_2 , \cdots , y_m )</math> in un intorno di <math>\mathbf{b}</math> se il sistema è risolvibile in <math>(\mathbf{a},\mathbf{b})</math> e se <math>X</math> è invertibile.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 227|rudin}}.</ref> Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe <math>\mathcal{C}^1</math>. Il teorema può essere generalizzato al caso di [[funzione analitica|funzioni analitiche]].